【題目】綜合與實(shí)踐﹣﹣旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)

問(wèn)題背景:在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上,同學(xué)們以兩個(gè)矩形為對(duì)象,研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問(wèn)題:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)O,連接AA′,CC′.請(qǐng)你幫他們解決下列問(wèn)題:

觀察發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,若A′B′∥AB,則AA′與CC′的數(shù)量關(guān)系是______

操作探究:(2)將圖1中的矩形ABCD保持不動(dòng),矩形A′B′C′D′繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α≤90°),如圖2,在矩形A′B′C′D′旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

操作計(jì)算:(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)矩形A′B′C′D′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至AA′⊥A′D′時(shí),若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的長(zhǎng).

【答案】AA′=CC′

【解析】

(1)連接AC、A′C′,根據(jù)題意得到點(diǎn)A、A′、C′、C在同一條直線上,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OC,OA′=OC′,得到答案;

(2)連接AC、A′C′,證明A′OA≌△C′OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;

(3)連接AC,過(guò)CCEAB′,交AB′的延長(zhǎng)線于E,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出B′C′,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

(1)AA′=CC′,

理由如下:連接AC、A′C′,

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,CAB=C′A′B′,

A′B′AB,

∴點(diǎn)A、A′、C′、C在同一條直線上,

由矩形的性質(zhì)可知,OA=OC,OA′=OC′,

AA′=CC′,

故答案為:AA′=CC′;

(2)(1)中的結(jié)論還成立,AA′=CC′,

理由如下:連接AC、A′C′,則AC、A′C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠A′OA=C′OC,

∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是矩形,

OA=OC,OA′=OC′,

A′OAC′OC中,

,

∴△A′OA≌△C′OC,

AA′=CC′;

(3)連接AC,過(guò)CCEAB′,交AB′的延長(zhǎng)線于E,

∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,

,即,

解得,B′C′=4,

∵∠EB′C=B′C′C=E=90°,

∴四邊形B′ECC′為矩形,

EC=B′C′=4,

RtABC中,AC==10,

RtAEC中,AE==2,

AA′+B′E=2﹣3,又AA′=CC′=B′E,

AA′=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB90°,OC2BOAC6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)AB兩點(diǎn).

1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

2)求拋物線的解析式;

3)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PEDE

①求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】某商家用1200元購(gòu)進(jìn)了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種T恤,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元.

(1)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批T恤是多少件?

(2)若兩批T恤按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出,如果希望兩批T恤全部售完的利潤(rùn)率不低于16%(不考慮其它因素),那么每件T恤的標(biāo)價(jià)至少是多少元?

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【題目】已如:⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A

(1)求作:⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;( 要求:尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法但保留作圖痕跡)

(2)連接CE,BF,判斷四邊形BCEF是否為矩形,并說(shuō)明理由.

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【題目】如圖是某旅游景點(diǎn)的一處臺(tái)階,其中臺(tái)階坡面AB和BC的長(zhǎng)均為6m,AB部分的坡角∠BAD為45°,BC部分的坡角∠CBE為30°,其中BD⊥AD,CE⊥BE,垂足為D,E.現(xiàn)在要將此臺(tái)階改造為直接從A至C的臺(tái)階,如果改造后每層臺(tái)階的高為22cm,那么改造后的臺(tái)階有多少層?(最后一個(gè)臺(tái)階的高超過(guò)15cm且不足22cm時(shí),按一個(gè)臺(tái)階計(jì)算.可能用到的數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),以為邊作正方形,請(qǐng)解決下列問(wèn)題:

1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);

2)求直線的解析式;

3)在直線上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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【題目】綜合與實(shí)踐

1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1均為等邊三角形,點(diǎn)在同一直線上,連接.請(qǐng)寫(xiě)出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

2)類比探究

如圖2均為等腰直角三角形,,點(diǎn)在同一直線上,邊上的高,連接

填空:①的度數(shù)為____________;

②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_______________________________

3)拓展延伸

在(2)的條件下,若,則四邊形的面積為______________

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【題目】如圖是反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支.

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寫(xiě)出該圖象的另一個(gè)分支上的個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo):________、________;

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如果自變量取值范圍為,求的取值范圍.

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②根據(jù)臨場(chǎng)實(shí)際購(gòu)買情況,王老師在總費(fèi)用不變的情況下把一部分類桶調(diào)換成另一種類桶,且調(diào)換后類桶的數(shù)量不少于類桶的數(shù)量,已知類桶單價(jià)元,則按這樣的購(gòu)買方式,類桶最多可買 個(gè).(直接寫(xiě)出答案)

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