Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線AC上，正方形的邊長是a，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PM⊥BC時(shí)，四邊形PMCN是正方形．填空：①當(dāng)AP=2PC時(shí)，四邊形PMCN的邊長是；②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)），四邊形PMCN的面積是 ．
（2）猜想論證 如圖3，改變四邊形ABCD的形狀為矩形，AB=a，BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，則 = ．
（3）拓展探究 如圖4，當(dāng)四邊形ABCD滿足條件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD時(shí)，點(diǎn)P在AC上，PE、PF分別交BC，CD于M、N點(diǎn)，固定P點(diǎn)，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄? 的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1） a；
（2）
（3）解：如圖4，過P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，則∠HPG=∠DAB

∵∠EPF=∠BAD

∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM

∴∠HPN=∠GPM

∵∠B+∠D=180°

∴∠PGC+∠PHC=180°

又∵∠PHN+∠PHC=180°

∴∠PGC=∠PHN

∴△PGM∽△PHN

∴ = ①

由PG∥AB，PH∥AD可得， = =

即 = ②

∴由①②可得， =

【解析】解：（1）①如圖2，∵PM⊥BC，AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴ =
又∵AP=2PC
∴ = ，即 =
∴PM= a，即正方形PMCN的邊長是 a
②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)）， =
∴PM= a
∴四邊形PMCN的面積=（ a）2=
2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴ =
由PG∥AB，PH∥AD可得，
∵AB=a，BC=b
∴ ，即 =
∴ =
（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長，再計(jì)算其面積；（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可；（3）先過P作PG∥AB，作PH∥AD，并結(jié)合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．