Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點E，F(xiàn)，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下五個結(jié)論： ① ；②∠ADF=∠CDB；③點F是GE的中點；④AF= AB；⑤S△ABC=5S△BDF ，
其中正確結(jié)論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：依題意可得BC∥AG， ∴△AFG∽△BFC，∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故結(jié)論①正確；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中，
，
∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故結(jié)論②正確；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE為直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即點F不是線段GE的中點．
故結(jié)論③錯誤；
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故結(jié)論④正確；
∵AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；又D為中點，∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=6S△BDF ．
故結(jié)論⑤錯誤．
綜上所述，結(jié)論①②④正確，
所以答案是：①②④．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．