【題目】如圖,直線 軸于點 ,點是直線 上的動點.直線 交 于點 ,過點 作直線 垂直于 ,垂足為 ,過點 , 的直線 交 于點 E,當直線 ,,能圍成三角形時,設該三角形面積為 ,當直線 ,,能圍成三角形時,設該三角形面積為 .
(1)若點 在線段 上,且 ,則 點坐標為_________;
(2)若點 在直線上,且,則的度數(shù)為_______.
【答案】 或
【解析】
(1)設B的坐標是(2,m),則△BCD是等腰直角三角形,即可表示出S1,求得直線l1的解析式,解方程組即可求得E的坐標,則S2的值即可求得,根據S1=S2,即可得到一個關于m的方程從而求得m的值;
(2)分類討論,根據S2=S1,即可得到一個關于m的方程從而求得m的值,根據勾股定理,求得角的度數(shù).
解:(1)設B的坐標是(2,m),
∵直線l2:y=x+1交l1于點C,
∴∠ACE=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
BC=|3-m|,
則BD=CD=BC=|3-m|,
S1=×(|3-m|)2=(3-m)2.
設直線l4的解析式是y=kx,過點B,
則2k=m,解得:k=,
則直線l4的解析式是y=x.
根據題意得: ,解得:,
則E的坐標是(,).
S△BCE=BC|2|=|3-m|||=.
∴S2=S△BCE-S1=- (3-m)2 .
當S1=S2時,-(3-m)2=(3-m)2.
解得:m1=4或m2=0,
易得點C坐標為(2,3),即AC=3,
∵點B在線段AC上,
∴m1=4不合題意舍去,
則B的坐標是(2,0);
(2)分三種情況:
①當點B在線段AC上時
當S2=S1時,-(3-m)2= (3-m)2.
解得:m=4-2 或2(不在線段AC上,舍去),或m=3(l2和l4重合,舍去).
則AB=4-2.
在OA上取點F,使OF=BF,連接BF,設OF=BF=x.
則AF=2-x,根據勾股定理,x2=(2x)2+(42)2,
解得:x=84,
∴sin∠BFA==,
∴∠BFA=30°,
∴∠BOA=15°;
或由s1=s2可得CD=DE,所以BD是CE的中垂線,所以BC=BE,根據∠BCD=45°即可知CB⊥BO,所以B必須與A重合,所以B(2,0),
②當點B在AC延長線上時,
此時,S2=S△BCE+S1=+ (3m)2
當S2=S1時,得:+(3m)2=
(3m)2,
解得符合題意有:AB=4+2.
在AB上取點G,使BG=OG,連接OG,設BG=OG=x,
則AG=4+2-x.根據勾股定理,得x2=(4+2x)2+22,
解得:x=4,
∴sin∠OGA==,
∴∠OGA=30°,
∴∠OBA=15°,
∴∠BOA=75°;
③當點B在CA延長線上時,S1>S2,
此時滿足條件的點B不存在,
綜上所述,∠BOA的度數(shù)為15°或75°.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于、兩點(點在點左側),經過點的直線:與軸交于點,與拋物線的另一個交點為,且.
(1)直接寫出點的坐標,并用含的式子表示直線的函數(shù)表達式(其中、用含的式子表示).
(2)點為直線下方拋物線上一點,當的面積的最大值為時,求拋物線的函數(shù)表達式;
(3)設點是拋物線對稱軸上的一點,點在拋物線上,以點、、、為頂點的四邊形能否為矩形?若能,求出點的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)解析式為y=2x2﹣4x﹣6.
(1)寫出拋物線的開口方向,頂點M坐標,對稱軸,最值;
(2)求拋物線與x軸交點A,B與y軸的交點C的坐標;
(3)作出函數(shù)的圖象;
(4)觀察圖象:x為何值時,y隨x的增大而增大;
(5)觀察圖象:當x何值時,y>0;當x何值時,y=0;當x何值時,y<0.
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【題目】某一天,水果經營戶老張用1600元從水果批發(fā)市場批發(fā)獼猴桃和芒果共50千克,后再到水果市場去賣,已知獼猴桃和芒果當天的批發(fā)價和零售價如表所示:
品名 | 獼猴桃 | 芒果 |
批發(fā)價元千克 | 20 | 40 |
零售價元千克 | 26 | 50 |
他購進的獼猴桃和芒果各多少千克?
如果獼猴桃和芒果全部賣完,他能賺多少錢?
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【題目】如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊AB、AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列判斷中,不正確的是( 。
A. △ADE∽△ABC B. △CDE∽△BCD C. △ADE∽△ACD D. △ADE∽△DBC
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【題目】如圖,矩形的邊,,點從點出發(fā),沿射線移動,以為直徑作圓,點為圓與射線的公共點,連接,過點作,與圓相交于點, 連接.
(1)試說明四邊形是矩形;
(2)當圓與射線相切時,點停止移動,在點移動的過程中:
①矩形的面積是否存在最大值或最小值?若存在,求出這個最大值或最小值;若不存在,說明理由;
②求點移動路線的長.
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【題目】圖1、圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段AC的兩個端點均在小正方形的頂點上.
(1)如圖1,點P在小正方形的頂點上,在圖1中作出點P關于直線AC的對稱點Q,連接AQ、QC、CP、PA,并直接寫出四邊形AQCP的周長;
(2)在圖2中畫出一個以線段AC為對角線、面積為6的矩形ABCD,且點B和點D均在小正方形的頂點上.
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【題目】如圖,拋物線的頂點為,與軸交于點,與軸交于,兩點(點在點的左側)。
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接,,,試證明為直角三角形;
(3)若點在拋物線上,軸于點,以、、為頂點的三角形與相似,試求出所有滿足條件的點的坐標。
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【題目】如圖,已知點A(4,0),O為坐標原點,P是線段OA上任意一點(不含端點O,A),過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OB與AC相交于點D.當OD=AD=3時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于( )
A. B. C.3 D.4
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