Question

【題目】已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，若 = ，如圖1，．

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)AE與DF相交于點(diǎn)M，如圖2，AF=2FC=4，求AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC為等腰三角形，

∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，

∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，

∵四邊形內(nèi)角和為360°，

∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，

∵ = ，

∴∠EOF=∠DOE，

∴∠B=∠C，AB=AC，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）

解：連接OB、OC、OD、OF，如圖，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，

∴E是BC中點(diǎn)，BE=CE，

∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， ，

∴Rt△AOF≌Rt△AOD，

∴AF=AD，

同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，

Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，

∴AD=AF，BD=CF，

∴DF∥BC，

∴ = =，

∵AE= =4 ，

∴AM=4 × = ．

【解析】（1）易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，∠B=∠C，AB=AC，即可解題.
（2）連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，根據(jù)平行線所截線段成比例；再根據(jù)AE長度即可解題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心．