Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度數(shù)；
（2）求證：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的長為1，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°．

又∵∠ACD=∠DAB，

∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，

∴∠CDA=135°

同理可得∠ADB=135°

∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°

（2）證明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，

∴△DCA∽△DAB

（3）解：∵△DCA∽△DAB，

∴ = = = ，

又∵CD=1，

∴AD= ，DB=2．

又∵∠CDB=90°，

∴BC= = = ，

在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，

∴AB= = ．

【解析】（1）只要證明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解決問題．（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判定．（3）由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2．根據(jù)BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．