Question

【題目】如圖，△ABC 是等邊三角形，點 D、E 分別在 BC、AC 上，且 BD=BC，CE= AC，BE、AD 相交于點 F，連接 DE， 則下列結論：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DFDA；④AFBE=AEAC，正確的結論有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

本題是開放題，對結論進行一一論證，從而得到答案．

①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和， 即可證∠AFE=60°；②從 CD 上截取 CM=CE，連接 E M，證△CEM 是等邊三角形，可證明 DE⊥AC；

③△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE2=DFDA；

④只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出 AFBE=AEAC．

解：∵△ABC 是等邊三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°

∵BD=BC，CE=AC

∴BD=EC

∴△ABD≌△BCE

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°

∴∠ABE+∠CBE=60°

∵∠AFE 是△ABF 的外角

∴∠AFE=60°

∴①是對的；

如圖，從 CD 上截取 CM=CE，連接 EM，則△CEM 是等邊三角形

∴EM=CM=EC

∵EC=CD

∴EM=CM=DM

∴∠CED=90°

∴DE⊥AC，

∴②是對的；

由前面的推斷知△BDF∽△ADB

∴BD：AD=DF：DB

∴BD2=DFDA

∴CE2=DFDA

∴③是對的；

在△AFE 和△BAE 中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB 是公共角

∴△AFE∽△BAE

∴AFBE=AEAC∴④是正確的． 故選D．