Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以邊AB為直徑作⊙O，交斜邊BC于D，E在弧上，連接AE、ED、DA，連接AE、ED、DA．

（1）求證：∠DAC＝∠AED；

（2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)BD＝5，CD＝4時(shí)，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DF＝2．

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到AD⊥BC，根據(jù)余角的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CA＝CF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠B＝90°，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠E＝∠ABD，

∴∠DAC＝∠AED；

（2）∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴∠BAE＝∠EAD，

∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAE＝∠CDA+∠EAD，

∴∠CFA＝∠CAE，

∴CA＝CF，

∵∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCA，

∴△ADC∽△BAC，

∴，

即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36，

解得AC＝6，

∴CA＝CF＝6，

∴DF＝CA﹣CD＝2．