【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,對角線BD、AC交于點O.將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點E、F.
(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,AF與CE總保持相等;
(2)證明:當旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)45°.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC,對角線互相平分可得OA=OC,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠1=∠2,然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得到AF=CE;
(2)根據(jù)垂直的定義可得∠BAO=90°,然后求出∠BAO=∠AOF,再根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行可得AB∥EF,然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行求出AF∥BE,再根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論可得AF=CE,再求出DF∥BE,DF=BE,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形,再求出對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時,四邊形BEDF是菱形;根據(jù)勾股定理列式求出AC=2,再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出AO=1,然后求出∠AOB=45°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出旋轉(zhuǎn)角即可.
試題解析:(1)在ABCD中,AD∥BC,OA=OC,
∴∠1=∠2,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE;
(2)由題意,∠AOF=90°(如圖2),
又∵AB⊥AC,
∴∠BAO=90°,
∠AOF=90°,
∴∠BAO=∠AOF,
∴AB∥EF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
即:AF∥BE,
∵AB∥EF,AF∥BE,
∴四邊形ABEF是平行四邊形;
(3)當EF⊥BD時,四邊形BEDF是菱形(如圖3).
∵ABCD,AF=CE,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BE,DF=BE,
∴四邊形BEDF是平行四邊形,
又∵EF⊥BD,
∴BEDF是菱形,
∵AB⊥AC,
∴在△ABC中,∠BAC=90°,
∴BC2=AB2+AC2,
∵AB=1,BC=,
∴AC===2,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=AC=×2=1,
∵在△AOB中,AB=AO=1,∠BAO=90°,
∴∠1=45°,
∵EF⊥BD,
∴∠BOF=90°,
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°,
即:旋轉(zhuǎn)角為45°.
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【題目】圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.
方法1: ;
方法2: ;
(2)觀察圖2請你寫出下列三個代數(shù)式:(m+n)2,(m-n)2,mn之間的等量關(guān)系 ;
(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:,,求:的值;
②已知:,,求:的值.
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【題目】給出定義,若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形.
(1)在你學(xué)過的特殊四邊形中,寫出兩種勾股四邊形的名稱;
(2)如圖,將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE,連接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求證:△BCE是等邊三角形;
②求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.
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【題目】若關(guān)于x的方程mxm-2-m+3=0是一元一次方程,則這個方程的解是( )
A.x=0
B.x=3
C.x=-3
D.x=2
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【題目】太平洋服裝超市某種服裝的標價為120元,元旦期間以九折降價出售,仍獲利20%,該服裝的進貨價為( )
A.80元
B.85元
C.90元
D.95元
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【題目】為保證中小學(xué)生每天鍛煉一小時,句容某中學(xué)開展了形式多樣的體育活動項目,小明對某班同學(xué)參加鍛煉的情況進行了統(tǒng)計,并繪制了下面的統(tǒng)計圖(1)和圖(2).
(1)某班同學(xué)的總?cè)藬?shù)為 人;
(2)請根據(jù)所給信息在圖(1)中將表示“乒乓球”項目的圖形補充完整;
(3)扇形統(tǒng)計圖(2)中表示”籃球”項目扇形的圓心角度數(shù)為 .
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【題目】為了測算一塊600畝試驗田里新培育的雜交水稻的產(chǎn)量,隨機對其中的10畝雜交水稻的產(chǎn)量進行了檢測,在這個問題中10是( )
A. 個體 B. 總體 C. 總體的樣本 D. 樣本容量
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M,與BD相交于點O,與BC相交于點N,連接BM、DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長。
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【題目】方程(m﹣2)x2+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )
A.m≠±2
B.m=2
C.m=﹣2
D.m≠2
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