【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B,C兩點(diǎn).
(1)求直線BC及拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,且∠APD=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連接CD,求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù).
【答案】
(1)解:∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點(diǎn)C,
∴C(0,3).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3.
∵B(3,0)在直線BC上,
∴3k+3=0.
解得k=﹣1.
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.
∵拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)B,C,
∴
解得 ,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.
(2)解:由y=x2﹣4x+3.
可得D(2,﹣1),A(1,0).
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2.
可得△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,CB=3 .
如圖1,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,
∴AF= AB=1.
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.
∴∠AEB=90度.
可得BE=AE= ,CE=2 .
在△AEC與△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP.
∴ , .
解得PF=2.∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)或(2,﹣2).
(3)解:解法一:
如圖2,
作點(diǎn)A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A',則A'(﹣1,0).
連接A'C,A'D,
可得A'C=AC= ,∠OCA'=∠OCA.
由勾股定理可得CD2=20,A'D2=10.
又∵A'C2=10,
∴A'D2+A'C2=CD2.
∴△A'DC是等腰直角三角形,∠CA'D=90°,
∴∠DCA'=45度.
∴∠OCA'+∠OCD=45度.
∴∠OCA+∠OCD=45度.
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度.
解法二:
如圖3,連接BD.
同解法一可得CD= ,AC= .
在Rt△DBF中,∠DFB=90°,BF=DF=1,
∴DB= .
在△CBD和△COA中, , , .
∴ .
∴△CBD∽△COA.
∴∠BCD=∠OCA.
∵∠OCB=45°,
∴∠OCA+∠OCD=45度.
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45度.
【解析】直線y=kx向上平移3個單位與y軸交于C,可知C(0,3)代入拋物線解析式即可求出b、c;(2)由∠APD=∠ACB可構(gòu)造△AEC∽△AFP,由對應(yīng)邊成比例可求出PF,進(jìn)而求出P坐標(biāo);(3)求兩角和可轉(zhuǎn)化某一個角然后這兩者再相加組成一個角,可由△CBD∽△COA可得出 ∠BCD=∠OCA,∠OCA+∠OCD=∠BCD=45度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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【題目】某水果商店經(jīng)銷一種蘋果,共有20筐,以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示,記錄如表:
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值(單位;千克) | -3 | -2 | -1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
筐數(shù) | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |
(1)這20筐蘋果中,最重的一筐比最輕的一筐多重多少千克?
(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較,這20筐蘋果總計(jì)超過或不足多少千克?
(3)若蘋果每千克售價元,則出售這20筐蘋果可賣多少元?
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【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1 ,
(2)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是;
(3)以點(diǎn)B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2 ,
(4)使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點(diǎn)C2的坐標(biāo)是 .
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【題目】如圖,將半徑為4,圓心角為90°的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E且點(diǎn)D剛好在上,則陰影部分的面積為_____.
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【題目】南博汽車城銷售某種型號的汽車,每輛進(jìn)貨價為25萬元,市場調(diào)研表明:當(dāng)銷售價為29萬元時,平均每周能售出8輛,而當(dāng)銷售價每降低0.5萬元時,平均每周能多售出4輛.如果設(shè)每輛汽車降價x萬元,每輛汽車的銷售利潤為y萬元.(銷售利潤=銷售價﹣進(jìn)貨價)
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;在保證商家不虧本的前提下,寫出x的取值范圍;
(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元,試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)每輛汽車的定價為多少萬元時,平均每周的銷售利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】曲靖市某商場投入19200元資金購進(jìn)甲、乙兩種飲料共600箱,飲料的成本價和銷售價如表所示:
類別/單價 | 成本價 | 銷售價(元/箱) |
甲 | 24 | 36 |
乙 | 36 | 52 |
(1)該商場購進(jìn)甲、乙兩種飲料各多少箱?
(2)全部售完600箱飲料,該商場共獲得利潤多少元?
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【題目】如圖,在半徑為 的⊙O中,AB,CD是互相垂直的兩條弦,垂足為P,且AB=CD=4,則OP的長為( )
A.1
B.
C.2
D.2
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【題目】如圖,把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后,ED與BC交點(diǎn)為G,D、C分別在M、N的位置上,若∠2-∠1=40°,則∠EFC的度數(shù)為( )
A. 115°B. 125°C. 135°D. 145°
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【題目】在四張編號為A,B,C,D的卡片(除編號外,其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后,背面向上,洗勻放好.
(1)我們知道,滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù),嘉嘉從中隨機(jī)抽取一張,求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1;
(2)琪琪從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張(卡片用A,B,C,D表示).請用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2 , 并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎?
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