解答:解:(1)∵直線l:y=3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴A(-1,0),B(0,3);
∵把△AOB沿y軸翻折,點A落到點C,∴C(1,0).
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
∴
,
解得k=-1,b=3,
∴直線BD的解析式為:y=-x+3.
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)(x-3),
∵點B(0,3)在拋物線上,
∴3=a×(-1)×(-3),
解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x-1)(x-3)=x
2-4x+3.
(2)拋物線的解析式為:y=x
2-4x+3=(x-2)
2-1,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標(biāo)為(2,-1).
直線BD:y=-x+3與拋物線的對稱軸交于點M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1).
設(shè)對稱軸與x軸交點為點F,則CF=FD=MF=1,
∴△MCD為等腰直角三角形.
∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,
∴△BND為等腰直角三角形.
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,
∴N
1(0,0);
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點N在x軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON
2=3,
∴N
2(-3,0);
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點N在y軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON
3=3,
∴N
3(0,-3).
∴滿足條件的點N坐標(biāo)為:(0,0),(-3,0)或(0,-3).
(3)假設(shè)存在點P,使S
△PBD=6,設(shè)點P坐標(biāo)為(m,n).
(I)當(dāng)點P位于直線BD上方時,如答圖2所示:
過點P作PE⊥x軸于點E,則PE=n,DE=m-3.
S
△PBD=S
梯形PEOB-S
△BOD-S
△PDE=
(3+n)•m-
×3×3-
(m-3)•n=6,
化簡得:m+n=7 ①,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m
2-4m+3,
代入①式整理得:m
2-3m-4=0,
解得:m
1=4,m
2=-1,
∴n
1=3,n
2=8,
∴P
1(4,3),P
2(-1,8);
(II)當(dāng)點P位于直線BD下方時,如答圖3所示:
過點P作PE⊥y軸于點E,則PE=m,OE=-n,BE=3-n.
S
△PBD=S
梯形PEOD+S
△BOD-S
△PBE=
(3+m)•(-n)+
×3×3-
(3-n)•m=6,
化簡得:m+n=-1 ②,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m
2-4m+3,
代入②式整理得:m
2-3m+4=0,△=-7<0,此方程無解.
故此時點P不存在.
綜上所述,在拋物線上存在點P,使S
△PBD=6,點P的坐標(biāo)為(4,3)或(-1,8).