Question

（2013•恩施州）如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD交AE于點(diǎn)F，過(guò)C作CG∥AE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．
（1）求證：CG是⊙O的切線(xiàn)．
（2）求證：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC，由C是劣弧AE的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；
（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DF=1，AD=

3

，再由AF∥CG，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到DA：AG=DF：CF
然后把DF=1，AD=

3

，CF=2代入計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵C是劣弧AE的中點(diǎn)，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切線(xiàn)；

（2）證明：連結(jié)AC、BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，
∴DF=

1

2

AF=1，
∴AD=

3

DF=

3

，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即

3

：AG=1：2，
∴AG=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)．也考查了圓周角定理、垂徑定理和等腰三角形的判定．