【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=4,點P是BC邊上的動點,點P關于直線AB,AC的對稱點分別為M,N,則線段MN長的取值范圍是

【答案】6≤MN≤4
【解析】解:(解法一)如圖1,當點P為BC的中點時,MN最短. 此時E、F分別為AB、AC的中點,
∴PE= AC,PF= AB,EF= BC,
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6;
如圖2,當點P和點B(或點C)重合時,此時BN(或CM)最長.
此時G(H)為AB(AC)的中點,
∴CG=2 (BH=2 ),
CM=4 (BN=4 ).
故線段MN長的取值范圍是6≤MN≤4
故答案為:6≤MN≤4

(解法二)連接PM交AB于點E,連接PN交AC于點F,過點M作MD⊥PN于點D,如圖3所示.
設BP=x(0≤x≤4),則PE= x,CP=4﹣x,PF= (4﹣x),
∴PM= x,PN= (4﹣x).
∵∠B=∠C=60°,
∴∠BPE=∠CPF=30°,
∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°,
∴DP= PM= x,MD= PM= x.
在Rt△MDN中,MD= x,ND=PN+PD= (4﹣x)+ x= (8﹣x),
∴MN2=MD2+ND2=3(x﹣2)2+36,
∴當x=2時,MN取最小值6;當x=0或x=4時,MN取最大值4
故答案為:6≤MN≤4
(解法三)連接AM、AN、AP,過點A作AD⊥MN于點D,如圖所示.
∵點P關于直線AB,AC的對稱點分別為M,N,
∴AM=AP=AN,∠MAB=∠PAB,∠NAC=∠PAC,
∴△MAN為頂角為120°的等腰三角形,
∴∠AMD=30°,
∴AD= AM,MD= AM,MN= AM.
∵AM=AP,2 ≤AP≤4,
∴6≤MN≤4
故答案為:6≤MN≤4


(方法一)當點P為BC的中點時,MN最短,求出此時MN的長度,當點P與點B(或C)重合時,BN(或CM)最長,求出此時BN(或CM)的長度,由此即可得出MN的取值范圍.
(方法二)連接PM交AB于點E,連接PN交AC于點F,過點M作MD⊥PN于點D,設BP=x(0≤x≤4),則PE= x,CP=4﹣x,PF= (4﹣x),根據(jù)等邊三角形的性質結合軸對稱的性質即可得出PM、PN的長度,由角的計算可得出∠MPD=60°,進而可得出MD、PD的長度,在Rt△MDN中,利用勾股定理即可得出MN2=MD2+ND2=3(x﹣2)2+36,再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解決最值問題.
(方法三)連接AM、AN、AP,過點A作AD⊥MN于點D,由對稱性可知AM=AP=AN、△MAN為頂角為120°的等腰三角形,進而即可得出MN= AP,再根據(jù)AP的取值范圍即可得出線段MN長的取值范圍.

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