Question

【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間．則下列結(jié)論： ①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1， ∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣2，0）和（﹣1，0）之間．
∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣ =1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴ =n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正確；
∵拋物線與直線y=n有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴拋物線與直線y=n﹣1有2個(gè)公共點(diǎn)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．
故選C．
利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣2，0）和（﹣1，0）之間，則當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＞0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣ =1，即b=﹣2a，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n得到 =n，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于拋物線與直線y=n有一個(gè)公共點(diǎn)，則拋物線與直線y=n﹣1有2個(gè)公共點(diǎn)，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．