Question

【題目】將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求菱形的邊長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)試題解析（2）5（3）2．

【解析】

試題（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，則可根據(jù)“ASA”判斷△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形；

（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則BE=BC﹣CE=8﹣x，AE=x，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得（8﹣x）2+42=x2，然后解方程即可得到菱形的邊長(zhǎng)；

（3）先在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AC=4，則OA=AC=2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理計(jì)算出OE=，所以EF=2OE=2．

試題解析：（1）證明：∵矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕為EF，∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，

∵AD∥AC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，∵OA=OC，AC⊥EF，

∴四邊形AECF為菱形；

（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則BE=BC﹣CE=8﹣x，AE=x，

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，

即菱形的邊長(zhǎng)為5；

（3）解：在Rt△ABC中，AC===4，

∴OA=AC=2，

在Rt△AOE中，OE===，

∴EF=2OE=2．