Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為，過(guò)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（-4，0）。
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）連接AC，∵BC是⊙A的切線， ∴∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴， ∴∠BCO=∠CAO， ∴△BCO∽△CAO， ∴， 即， ∴CO=2， ∴點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，2）， 設(shè)直線BC的解析式為， ∵該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-4，0）與點(diǎn)C（0，2）， ∴ 解得 ∴該直線解析式為；
（2）連接AG，過(guò)點(diǎn)G作， 由切線長(zhǎng)定理知， 在Rt△ACG中， ∵， ∴， 在Rt△BOC中，由勾股定理得，  ∴， 又∵  ， ∴△BOC∽△BHG， ∴， ∴， 則是點(diǎn)G的縱坐標(biāo)， ∴， 解得， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖示，當(dāng)A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)， ∵E、F在⊙A上， ∴， 若△AEF是直角三角形， 則∠EAF=90°，且為等腰直角三角形， 過(guò)點(diǎn)A作，在中由三角函數(shù)可知，  又∵△BOC∽△BMA ， ∴， ∴， ∴， ∴點(diǎn)A坐標(biāo)是， 當(dāng)A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)：同理可求點(diǎn)A坐標(biāo)是。