Question

（1997•南京）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點P，A為⊙O₁上一點，直線AC切⊙O₂于點C，且交⊙O₁于點B，AP的延長線交⊙O₂于點D．
（1）求證：∠BPC=∠CPD；
（2）若⊙O₁半徑是⊙O₂半徑的2倍，PD=10，AB=7

6

，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弦切角定理得出∠PAB=∠BPE，利用切線長定理得出EP=EC，再利用三角形的外角性質(zhì)得出∠CPD=∠EPC+∠BPE，即可得出答案；
（2）首先得出△O₁PA∽△O₂DP，求出AP的長，進而得出BC的長，再利用△DPC∽△CPB，△APC∽△ACD，即可得出PC，CD的關(guān)系即可得出PC的長．

解答：（1）證明：如圖1，過點P作兩圓的公切線PE，交BC于點E，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點P，直線AC切⊙O₂于點C，
∴EP=EC，∠PAB=∠BPE，
∴∠ECP=∠EPC，
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD，
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE，
∴∠BPC=∠CPD；

（2）解：如圖2，連接O₁O₂，AO₁，DO₂，CD，
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂DP=∠O₂PD，∠O₁PA=∠O₂PD，
∴∠O₁PA=∠O₁AP=∠O₂DP=∠O₂PD，
∴△O₁PA∽△O₂DP，
∴

AO1

DO2

=

AP

PD

=

2

1

，
∵PD=10，
∴AP=20，
∵直線AC切⊙O₂于點C，
∴AC²=AP×AD=（20+10）×20=600，
∴AC=10

6

，
∵AB=7

6

，
∴BC=3

6

，
∵直線AC切⊙O₂于點C，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PDC=∠BPC，
∴△DPC∽△CPB，
∴

BC

CD

=

PC

PD

，
∴

3 6

CD

=

PC

10

，
∵∠CAP=∠DAC，∠PCA=∠CDA，
∴△APC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

PC

CD

=

10 6

30

=

6

3

，
∴CD=

6

2

PC，
∴

3 6

6 2 PC

=

PC

10

，
解得：PC=2

15

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及弦切角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)已知得出PC與CD的比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．