Question

下列說法：
①若一元二次方程x²+bx+a=0有一個(gè)根是-a（a≠0），則代數(shù)式a-b的值是-1
②若a+b+c=0，則x=a+b+c是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根
③若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
④當(dāng)m取整數(shù)-1或1時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+4=0與x²-4mx+4m²-4m-5=0的解都是整數(shù)．
其中正確的有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①將-a代入方程得出a-b的值即可；②利用a+b+c=0，即x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根得出答案，③利用b=2a+3c，分析△得出即可；
④這兩個(gè)一元二次方程都有解，因而根與判別式△≥0，即可得到關(guān)于m不等式，從而求得m的范圍，再根據(jù)m是整數(shù)，即可得到m的可能取到的幾個(gè)值，然后對(duì)每個(gè)值進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合使兩個(gè)一元二次方程的解都是整數(shù)即可確定m的值．

解答：解：①若一元二次方程x²+bx+a=0有一個(gè)根是-a（a≠0），則a²+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，
則代數(shù)式a-b=-1，故此選項(xiàng)正確；

②若a+b+c=0，則x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③若b=2a+3c，那么△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=（2a+2c）²+5c²，
當(dāng)a≠0，c=-a時(shí)，△＞0；當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，△＞0；當(dāng)a≠c≠0時(shí)，△＞0，
∴△＞0，故此選項(xiàng)正確；

④∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+4=0與x²-4mx+4m²-4m-5=0有解，
則m≠0，
∴△≥0
mx²-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x²-4mx+4m²-4m-5=0，
△=16m²-16m²+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-

5

4

；
∴-

5

4

≤m≤1，而m是整數(shù)，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一個(gè)為x²-4x+4=0，另一個(gè)為x²+4x+3=0，沖突，故舍去），
當(dāng)m=1時(shí)，mx²-4x+4=0即x²-4x+4=0，方程的解是x₁=x₂=2；
x²-4mx+4m²-4m-5=0即x²-4x-5=0，方程的解是x₁=5，x₂=-1；
當(dāng)m=0時(shí)，mx²-4x+4=0時(shí)，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．
故m=1，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故正確的有2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式以及方程的解，解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，首先根據(jù)根的判別式確定m的范圍是解決本題的關(guān)鍵．