Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+ x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．

（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)M處，再沿垂直于拋物線對(duì)稱軸的方向運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處停止．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)；
（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動(dòng)，點(diǎn)E平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1的位置，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1 ， C1 ， 且點(diǎn)A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC為直角三角形，

當(dāng)y=0時(shí)，即﹣ x2+ x+3=0，

∴x1=﹣ ，x2=3

∴A（﹣ ，0），B（3 ，0），

∴OA= ，OB=3 ，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

根據(jù)勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，

∴AC2+BC2=48，

∵AB2=[3 ﹣（﹣ ）]2=48，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（2）

解：如圖，

∵B（3 ，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣ x+3，

過(guò)點(diǎn)P作∥y軸，

設(shè)P（a，﹣ a2+ a+3），

∴G（a，﹣ a+3），

∴PG=﹣ a2+ a，

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為xD，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xC，

S△PCD= ×（xD﹣xC）×PG=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∵0＜a＜3 ，

∴當(dāng)a= 時(shí)，S△PCD最大，此時(shí)點(diǎn)P（ ， ），

將點(diǎn)P向左平移 個(gè)單位至P′，連接AP′，交y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，

連接PM，點(diǎn)Q沿P→M→N→A，運(yùn)動(dòng)，所走的路徑最短，即最短路徑的長(zhǎng)為PM+MN+NA的長(zhǎng)，

∴P（ ， ）

∴P′（ ， ），

∵點(diǎn)A（﹣ ，0），

∴直線AP′的解析式為y= x+ ，

當(dāng)x=0時(shí)，y= ，

∴N（0， ），

過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H，

∴AH= ，P′H= ，AP′= ，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)得最短路徑長(zhǎng)為PM+MN+AN= + = ；

（3）

解：在Rt△AOC中，

∵tan∠OAC= = ，

∴∠OAC=60°，

∵OA=OA1，

∴△OAA1為等邊三角形，

∴∠AOA1=60°，

∴∠BOC1=30°，

∵OC1=OC=3，

∴C1（ ， ），

∵點(diǎn)A（﹣ ，0），E（ ，4），

∴AE=2 ，

∴A′E′=AE=2 ，

∵直線AE的解析式為y= x+2，

設(shè)點(diǎn)E′（a， a+2），

∴A′（a﹣2 ， ﹣2）

∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（ +2﹣ ）2= a2﹣ a+7，

C1A′2=（a﹣2 ﹣ ）2+（ ﹣2﹣ ）2= a2﹣ a+49，

①若C1A′=C1E′，則C1A′2=C1E′2

即： a2﹣ a+7= a2﹣ a+49，

∴a= ，

∴E′（ ，5），

②若A′C1=A′E′，

∴A′C12=A′E′2

即： a2﹣ a+49=28，

∴a1= ，a2= ，

∴E′（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），

③若E′A′=E′C1，

∴E′A′2=E′C12

即： a2﹣ a+7=28，

∴a1= ，a2= （舍），

∴E′（ ，3+ ），

即，符合條件的點(diǎn)E′（ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），（ ，3+ ）

【解析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大時(shí)，點(diǎn)P（ ， ），然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長(zhǎng)為PM+MN+NA的長(zhǎng)，計(jì)算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計(jì)算即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論，也是解本題的難點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對(duì)勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．