Question

【題目】已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F．

(1)如圖 (1)所示，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，求證：PA·PB＝PE·PF；

(2)如圖 (2)所示，當(dāng)P為線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）對(duì)誰(shuí)成立，證明見解析

【解析】

（1）利用圓周角、弦切角間的關(guān)系證明△APF∽△BPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明 PAPB=PEPF 成立．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論仍成立．先證明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根據(jù)成比例線段證明 PAPB=PEPF 成立．

證明：(1) 如圖1，連接 延長(zhǎng)與圓交于

∵EB為⊙O的切線，

為⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ABE，

∵EF∥BC，

∴∠AFP=∠ACB，

故∠AFP=∠ABE．

∠APF=∠EPB，

∴△APF∽△BPE，

∴PAPB=PEPF．

(2)結(jié)論成立，理由如下：

∵EB為⊙O的切線，結(jié)合（1）問(wèn)：

∴∠ACB=∠ABT，

∵EF∥BC，

∴∠ACB =∠AFP，

∴∠AFP=∠PBE．

∠BPE=∠FPA，

△PAF∽△PEB，

∴PAPB=PEPF．

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論仍成立．