【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為2cm /s,連接PQ,設運動的時間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:
(1)當t為何值時,PQ∥BC.
(2)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,把△APQ沿AP翻折,得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ′為菱形?若存在,求出此時菱形的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當s時,PQ∥BC.(2)不存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.(3)存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,此時菱形的面積為cm2.
【解析】(1)證△APQ∽△ABC,推出=,代入得出=,求出方程的解即可;(2)假設存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,得出方程-t2+6t=××8×6,求出此方程無解,即可得出答案.
(3)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系,求得PQ、OD、和PD的長度;然后在Rt△PQD中,根據(jù)勾股定理列出方程(8-t)2-(6-t)2=(2t)2,求得時間t的值;最后根據(jù)菱形的面積等于△AQP的面積的2倍,進行計算即可.
解:(1)BP=2t,則AP=10﹣2t.
∵PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC,
∴=,
即=,
解得:t=,
∴當t=時,PQ∥BC.
(2)如答圖1所示,過P點作PD⊥AC于點D.
∴PD∥BC,∴,即,解得.
,
假設存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,
則有S△AQP= S△ABC,而S△ABC=ACBC=24,∴此時S△AQP=12.
S△AQP,
∴,化簡得:t2﹣5t+10=0,
∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程無解,
∴不存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.
(3)假設存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,則有AQ=PQ=BP=2t.
如答圖2所示,過P點作PD⊥AC于點D,則有PD∥BC,
∴,即,
解得: , ,
∴QD=AD﹣AQ= .
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即,
化簡得:13t2﹣90t+125=0,
解得:t1=5,t2= ,
∵t=5s時,AQ=10cm>AC,不符合題意,舍去,∴t=.
由(2)可知,S△AQP=
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×=cm2.
所以存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,此時菱形的面積為cm2.
“點睛”本題考查了三角形的面積,勾股定理的逆定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應用,主要考查學生綜合運用進行推理和計算的能力.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及直角三角形,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例以及勾股定理進行列式求解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,AB=AC=12厘米,∠B=∠C,BC=8厘米,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度為v厘米/秒,則當△BPD與△CQP全等時,v的值為 .
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【題目】某商品的進價為每件20元,售價為每件30元,每個月可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月就會少賣出10件,但每件售價不能高于35元,設每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù)),每個月的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;求x為何值時y的值為1920?
(2)每件商品的售價為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】把幾個圖形拼成一個新的圖形,再通過圖形面積的計算,常?梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶,或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.
(1)如圖1,是將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形,試用不同的方法計算這個圖形的面積,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論,請寫出來.
(2)如圖2,是將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起,B、C、G三點在同一直線上,連接BD和BF,若兩正方形的邊長滿足a+b=10,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎?
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【題目】已知∠AOB=45°,點P在∠AOB內(nèi)部,P1與P關(guān)于OB對稱,P2與P關(guān)于OA對稱,則P1 , O,P2三點構(gòu)成的三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等邊三角形
D.等腰直角三角形
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AD=1,AB=2.將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合,折痕FG分別與AB、CD交于點G、F,AE與FG交于點O.當△AED的外接圓與BC相切于BC的中點N.則折痕FG的長為______.
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【題目】如圖,已知E為等腰△ABC的底邊BC上一動點,過E作EF⊥BC交AB于D,交CA的延長線于F,問:
(1)∠F與∠ADF的關(guān)系怎樣?說明理由;
(2)若E在BC延長線上,其余條件不變,上題的結(jié)論是否成立?若不成立,說明理由;若成立,畫出圖形并給予證明.
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【題目】如圖,AB=AC,CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,BE與CD相交于點O.
(1)求證:AD=AE;
(2)試猜想:OA與BC的位置關(guān)系,并加以證明.
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