Question

【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，3），直線與BC相交于點(diǎn)D，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．

（3）若點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，對(duì)稱軸與OD、x軸分別交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x．；（2）△OAD是直角三角形．（3）（5，0）或（5，-15）

【解析】

試題（1）根據(jù)題意可得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，從而將點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式．

（2）分別求出OA、OD、AD的長(zhǎng)度，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．

（3）①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，②過點(diǎn)O作OD的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質(zhì)分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）由題意得，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，

∵點(diǎn)D在直線上，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（9，3），

將點(diǎn)D（9，3）、點(diǎn)A（10，0）代入拋物線可得：

，

解得：

故拋物線的解析式為：y=-x2+x．

（2）∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，3），點(diǎn)A坐標(biāo)為（10，0），

∴OA=10，OD=，AD=，

從而可得OA2=OD2+AD2，

故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，

此時(shí)∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5，

即可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）

②過點(diǎn)O作OD的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，代入直線方程可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，

故可求得OM=

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得，

即

解得：MP′=，

又∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=，

∴P′N==15，

即可得此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（5，-15）

綜上可得存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（5，-15）