如圖，“把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為
1
2
的矩形”稱為第1次變換，接著“把其中一個面積為
1
2
的矩形等分成兩個面積為
1
4
的矩形”稱為第2次變換，再“把其中一個面積為
1
4
的矩形等分成兩個面積為
1
8
的矩形”稱為第3次變換，…一直到第100次變換，我們得到一系列數(shù)：
1
2
，
1
4
，
1
8
，
1
16
，
1
32
，…，利用圖形可求得前10個數(shù)的和是
1023
1024
1023
1024
．
分析：結合圖形發(fā)現(xiàn)計算方法：
1
2
=1-
1
2
；
1
2
+
1
4
=1-
1
4
，即計算其面積和的時候，只需讓總面積減去剩下的面積．
解答：解：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+…+
1
1024

=1-
1
1024

=
1023
1024
．
故答案為：
1023
1024
．
點評：本題考查了圖形的變化類問題，此題注意結合圖形的面積找到計算的方法：其中的面積和等于總面積減去剩下的面積．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為
1
2
的矩形，接著把面積為
1
2
的矩形等分成兩個面積為
1
4
的矩形，再把面積為
1
4
的矩形等分成兩個面積為
1
8
的矩形，如此進行下去，試利用圖形揭示的規(guī)律計算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+…+
1
512
+
1
1024
=
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順吋針方向旋轉 120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉到達O2處）．
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即
OO1
和
O1O2
，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．
小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片 AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉90°，…．按上述方法經(jīng)過若干次旋轉后，她提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉．求頂點O經(jīng)過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點0經(jīng)過的路程是
41+20
2
2
π？
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．
解：由圖可知：M=a2+b2，N=2ab．
∴M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2．
∵a≠b，∴（a-b）2＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
類比應用
（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為
a+b
2
元/千克和
2ab
a+b
元/千克（a、b是正數(shù)，且a≠b），試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低．
（2）試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大小（b＞c）．
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聯(lián)系拓廣
小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為
1
2
的長方形，接著再把面積為
1
2
的長方形分成兩個面積為
1
4
的長方形，再把面積為
1
4
的長方形分成兩個面積為
1
8
的長方形，如此進行下去．
（1）第7次等分所得的一個長方形面積是多少？
（2）試利用圖形揭示的規(guī)律計算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…+
1
128
．

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科目：初中數(shù)學 來源：新教材新學案　數(shù)學　八年級下冊 人教版 題型：044

如圖1，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，如此進行下去．試用圖形揭示的規(guī)律計算：＝________．請你利用圖2，再設計一個能求的值的幾何圖形．

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