Question

如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在AB與CD之間．

求證：∠E＝∠A＋∠C．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題通過(guò)添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等來(lái)證明． 　　證法一：(利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 　　如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB． 　　因?yàn)锳B∥CD，(已知) 　　所以EF∥CD．(平行于同一條直線的兩條直線平行) 　　所以∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF． 　　(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 　　所以∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠C．(等量代換) 　　證法二：(利用三角形內(nèi)角和定理及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 　　如圖，連接AC． 　　因?yàn)锳B∥CD，(已知) 　　所以∠BAC＋∠ACD＝180°．(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 　　所以∠BAE＋∠EAC＋∠ACE＋∠ECD＝180°． 　　因?yàn)樵凇鰽CE中，∠ACE＋∠E＋∠EAC＝180°，(三角形內(nèi)角和定理) 　　所以∠E＝∠BAE＋∠ECD．(等量代換) 　　證法三：(利用三角形內(nèi)角和定理的推論及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 　　如圖，延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)F． 　　因?yàn)锳B∥CD，(已知) 　　所以∠A＝∠AFC．(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 　　因?yàn)椤螦EC＝∠C＋∠AFC，(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和) 　　所以∠AEC＝∠A＋∠C．(等量代換) 　　證法四：(利用周角的性質(zhì)及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 　　如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB． 　　因?yàn)锳B∥CD，(已知) 　　所以EF∥CD．(平行于同一條直線的兩條直線平行) 　　所以∠A＋∠AEF＝180°，∠C＋∠CEF＝180°．(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 　　所以∠A＋∠AEF＋∠C＋∠CEF＝360°．(等式性質(zhì)) 　　因?yàn)椤螦EF＋∠CEF＋∠AEC＝360°，(周角定義) 　　所以∠AEC＝∠A＋∠C．(等量代換) 　　本題在課本中還有(2)、(3)兩個(gè)小題，也是探究三個(gè)角度的關(guān)系．請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上面的證明方法，試著證明(2)、(3)兩個(gè)小題，看一看你可以用多少種方法來(lái)證明．