【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,與y軸相交于(0, ),點A坐標為(-1,2),點B是點A關于y軸的對稱點,點C在x軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點F為線段AC上一動點,過點F作FE⊥x軸,FG⊥y軸,垂足分別為點E,G,當四邊形OEFG為正方形時,求出點F的坐標;
(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動,設平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+;(2)(1,1);(3)當△DMN是等腰三角形時,t的值為,3﹣或1.
【解析】試題分析:(1)易得拋物線的頂點為(0,),然后只需運用待定系數(shù)法,就可求出拋物線的函數(shù)關系表達式;
(2)①當點F在第一象限時,如圖1,可求出點C的坐標,直線AC的解析式,設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p),代入直線AC的解析式,就可求出點F的坐標;②當點F在第二象限時,同理可求出點F的坐標,此時點F不在線段AC上,故舍去;
(3)過點M作MH⊥DN于H,如圖2,由題可得0≤t≤2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三種情況(①DN=DM,②ND=NM,③MN=MD)討論就可解決問題.
試題解析:(1)∵點B是點A關于y軸的對稱點,
∴拋物線的對稱軸為y軸,
∴拋物線的頂點為(0,),
故拋物線的解析式可設為y=ax2+.
∵A(﹣1,2)在拋物線y=ax2+上,
∴a+=2,
解得a=﹣,
∴拋物線的函數(shù)關系表達式為y=﹣x2+;
(2)①當點F在第一象限時,如圖1,
令y=0得,﹣x2+=0,
解得:x1=3,x2=﹣3,
∴點C的坐標為(3,0).
設直線AC的解析式為y=mx+n,
則有,
解得,
∴直線AC的解析式為y=﹣x+.
設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p).
∵點F(p,p)在直線y=﹣x+上,
∴﹣p+=p,
解得p=1,
∴點F的坐標為(1,1).
②當點F在第二象限時,
同理可得:點F的坐標為(﹣3,3),
此時點F不在線段AC上,故舍去.
綜上所述:點F的坐標為(1,1);
(3)過點M作MH⊥DN于H,如圖2,
則OD=t,OE=t+1.
∵點E和點C重合時停止運動,∴0≤t≤2.
當x=t時,y=﹣t+,則N(t,﹣t+),DN=﹣t+.
當x=t+1時,y=﹣(t+1)+=﹣t+1,則M(t+1,﹣t+1),ME=﹣t+1.
在Rt△DEM中,DM2=12+(﹣t+1)2=t2﹣t+2.
在Rt△NHM中,MH=1,NH=(﹣t+)﹣(﹣t+1)=,
∴MN2=12+()2=.
①當DN=DM時,
(﹣t+)2=t2﹣t+2,
解得t=;
②當ND=NM時,
﹣t+=,
解得t=3﹣;
③當MN=MD時,
=t2﹣t+2,
解得t1=1,t2=3.
∵0≤t≤2,∴t=1.
綜上所述:當△DMN是等腰三角形時,t的值為,3﹣或1.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當D在AB中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點,則當∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.
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【題目】某次數(shù)學測驗,共16個選擇題,評分標準為:;對一題給6分,錯一題扣2分,不答不給分。某個學生有1題未答,他想自己的分數(shù)不低于70分,他至少要對多少題?
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【題目】一組數(shù)據(jù)5,-2,3,x,3,-2,若每個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),則這組數(shù)據(jù)的極差是________.
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【題目】把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位,然后向上平移3個單位,則平移后拋物線的解析式為( )
A. y=﹣(x﹣1)2﹣3 B. y=﹣(x+1)2﹣3 C. y=﹣(x﹣1)2+3 D. y=﹣(x+1)2+3
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【題目】下列命題中,正確的是( 。
A. 平行四邊形的對角線相等
B. 矩形的對角線互相垂直
C. 菱形的對角線互相垂直且平分
D. 對角線相等的四邊形是矩形
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