Question

【題目】如圖，拋物線l1：y=x2﹣4的圖象與x軸交于A，C兩點(diǎn)，拋物線l2與l1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

（1）直接寫(xiě)出l2所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B是拋物線l2上的動(dòng)點(diǎn)（B與A，C不重合），以AC為對(duì)角線，A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，求證：D點(diǎn)在l2上．
（3）當(dāng)點(diǎn)B位于l1在x軸下方的圖象上，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它面積的最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵l1與x軸的交點(diǎn)A（﹣2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣4），l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

∴l(xiāng)2過(guò)A（﹣2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），

設(shè)y=ax2+4，

則4a+4=0，

解得a=﹣1，

∴l(xiāng)2的解析式為y=﹣x2+4；

（2）

解：設(shè)B（x1，y1），

∵點(diǎn)B在l1上，

∴B（x1，x12﹣4），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，

∴B、D關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，

∴D（﹣x1，﹣x12+4），

將D（﹣x1，﹣x12+4）的坐標(biāo)代入l2：y=﹣x2+4，

∴左邊=右邊，

∴點(diǎn)D在l2上；

（3）

解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4=0，

解得：x1=2，x2=﹣2，

所以AC=4，

則SABCD=AC（﹣yB）=﹣4x2+16，

當(dāng)x=0時(shí)，SABCD取得最大值16，

∵當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，﹣4≤y1＜0，

∴S=﹣4y1，它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而減小，

∴當(dāng)y1=﹣4時(shí)，S有最大值16，但它沒(méi)有最小值，

此時(shí)B（0，﹣4）在y軸上，它的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D也在y軸上，

∴AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形

【解析】（1）根據(jù)拋物線l1的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出l2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出l2的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x1 ， x12﹣4），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入解析式即可證明：點(diǎn)D在l2上；（3）首先表示出S的值，當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，﹣4≤y1＜0，根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出點(diǎn)B的位置，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明，并求出S最大=16．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．