Question

18．如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線添加條件AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．
（3）在（2）的條件下，說明四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；
（2）根據(jù)正方形的判定定理填空；
（3）根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行證明．

解答 解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，
連接AC、BD，
∵E，F(xiàn)分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形，
故答案為：AC=BD且AC⊥BD；
（3）∵四邊形EFGH是平行四邊形，AC=BD，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．