【題目】已知A、B、C三點不在同一直線上.
(1)若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上,
①如圖①,當∠A=135°,R=1時,求∠BOC的度數(shù)和BC的長.
②如圖②,當∠A為銳角時,求證: ;
(2)若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動,如圖③,當∠MAN=60°,BC=2時,分別作BP⊥AM,CP⊥AN,交點為P,試探索在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離是否保持不變?請說明理由.
【答案】(1)①∠BOC=90°,BC=,②證明見解析;(2)在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離是否保持不變,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半,因為∠A=135°,所以優(yōu)弧所對的角∠BOC=270°,所以劣弧BC所對的∠BOC=90°,再由勾股定理計算出BC的長度;②延長CO交O于點E,連接BE,所以∠A=∠E,因為CE為0的直徑,得出∠CBE=90°,所以sinA=sinE==;(2)連接AP,取AP的中點K,分別連接CK、BK,由于BP⊥AM,CP⊥AN,作KH⊥BC交BC于點H,根據(jù)直角三角形我們斜邊上的中線等于斜邊的一半,得CK=BK=AK=PK,即點A、B、P、C在以K為圓心, AP為半徑的圓上,當定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動,如圖,當∠MAN=60時,∠BKC=120,BC=2,即△BKC是一個頂角為120°,底邊BC=2的等腰三角形,不難求出CK=BK=AP=,即AP=,所以在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離保持不變.
試題解析:
解(1)①根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半,∵∠A=135°,
∴優(yōu)弧所對的角∠BOC=270°,
∴劣弧BC所對的∠BOC=90°;
在Rt△BOC中,由勾股定理可知BC==.
②
證明:如圖所示,延長CO交O于點E,連接BE,
∴∠A=∠E,
∵CE為0的直徑,
∴∠CBE=90°,
∴sinA=sinE==.
(2)
連接AP,取AP的中點K,分別連接CK、BK,作KH⊥BC交BC于點H,
∵BP⊥AM,CP⊥AN,K是AP的中點,
∴CK=BK=AK=PK,
∴點A、B、P、C在以K為圓心, AP為半徑的圓上,
∵∠MAN=60,
∴∠BKC=120,
∴∠KBC=30°,
∵BC=2,
∴BH=CH=,
∵cos30°==,
∴BK=,
∴CK=BK=AP=,即AP=.
所以在整個滑動過程中,P、A兩點間的距離保持不變.
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【題目】如圖,將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,點E在AD上,延長ED交FG于點H.
(1)求證:△EDC≌△HFE;
(2)連接BE、CH.
①四邊形BEHC是怎樣的特殊四邊形?證明你的結論.
②當AB與BC的比值為 時,四邊形BEHC為菱形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中有三個點,是的邊上一點,經(jīng)平移后得到,點的對應點為.
(1)畫出平移后的,寫出點的坐標;
(2)的面積為_________________;
(3)若點是軸上一動點,的面積為,求與之間的關系式(用含的式子表示)
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【題目】如圖,矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上,點在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上,,,動點在軸的上方,且滿足.
(1)若點在這個反比例函數(shù)的圖像上,求點的坐標;
(2)連接、,求的最小值;
(3)若點是平面內(nèi)一點,使得以、、、為頂點的四邊形是菱形,則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點,且與軸的一個交點為.
(1)求拋物線的表達式;
(2)是拋物線與軸的另一個交點,點的坐標為,其中,△的面積為.
①求的值;
②將拋物線向上平移個單位,得到拋物線.若當時,拋物線與軸只有一個公共點,結合函數(shù)的圖象,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在中,,過點的直線,為邊上一動點(不與,重合),過點作,交直線于點,垂足為,連接,.
(1)求證:;
(2)當移動到的什么位置時,四邊形是菱形?說明你的理由;
(3)若點移動到中點,則當的大小滿足什么條件時,四邊形是正方形?請說明你的理由.
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【題目】設x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的兩根,利用一元二次方程根與系數(shù)的關系,求下列各式的值.
(1)x12x2+x1x22; (2)(x1﹣x2)2.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=5cm,點E在AD上,且AE=3cm,點P、Q同時從點B出發(fā),點P沿BE→ED→DC運動到點C停止,點Q沿BC運動到點C停止,它們的運動速度都是1cm/s,設P、Q出發(fā)t秒,△BPQ的面積為y cm2.則y與t的函數(shù)關系圖象大致是( 。
A. B. C. D.
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