Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于兩個點(diǎn)P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對平衡點(diǎn)．

（1）如圖1，已知點(diǎn)A（0，3），B（2，3）．

①設(shè)點(diǎn)O與線段AB上一點(diǎn)的距離為d，則d的最小值是　 　，最大值是　 　；

②在P1（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）這三個點(diǎn)中，與點(diǎn)O是線段AB的一對平衡點(diǎn)的是　 　

（2）如圖2，已知圓O的半徑為1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0），若點(diǎn)E（x，2）在第一象限，且點(diǎn)D與點(diǎn)E是圓O的一對平衡點(diǎn)，求x的取值范圍．

（3）如圖3，已知點(diǎn)H（﹣3，0），以點(diǎn)O為圓心，OH長為半徑畫弧交x軸的正半軸于點(diǎn)K，點(diǎn)C（a，b）（其中b≥0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且OC＝5，圓C是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若弧HK上的任意兩個點(diǎn)都是圓C的一對平衡點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3，，P1；（2）滿足條件的x的值為≤x≤3；（3）滿足條件的b的值為≤b≤5．

【解析】

（1）①觀察圖象d的最小值是OA長，最大值是OB長，由勾股定理得出結(jié)果；②由題意知P1；
（2）如圖，可得OE1=3，解得此時x=，OE2=7，解得x=3，可求出范圍；
（3）由點(diǎn)C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動，推出以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)，需要滿足CK≤6，CH≤6，分兩種情形分別求出b的值即可判斷．

（1）①由題意知：OA＝3，OB＝，則d的最小值是3，最大值是 ；

②根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，點(diǎn)P1與點(diǎn)O是線段AB的一對平衡點(diǎn)，

故答案為3， ，P1．

（2）如圖2中，

由題意點(diǎn)D到⊙O的最近距離是4，最遠(yuǎn)距離是6，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)E是⊙O的一對平衡點(diǎn)，此時需要滿足E1到⊙O的最大距離是4，即OE1＝3，可得x＝

同理：當(dāng)E2到⊙的最小距離為是6時，OE2＝7，此時x＝

綜上所述，滿足條件的x的值為

（3）∵點(diǎn)C在以O為圓心5為半徑的上半圓上運(yùn)動，

∴以C為圓心2為半徑的圓剛好與弧HK相切，此時要想弧HK上任意兩點(diǎn)都是圓C的平衡點(diǎn)，需要滿足CK≤6，CH≤6，

如圖3﹣1中，當(dāng)CK＝6時，作CM⊥HK于H．

由題意：

解得：或（舍棄），

如圖3﹣3中，當(dāng)CH＝6時，同法可得

在兩者中間時，a＝0，b＝5，

觀察圖象可知：滿足條件的b的值為