【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x+m交x軸于點(diǎn)A,二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常數(shù))的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,與直線l交于點(diǎn)D,已知CD與x軸平行,且S△ACD:S△ABD=3:5.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求此二次函數(shù)的解析式;
(3)點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),將線段AC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°(0°<α°<360°)得到線段A'C'(點(diǎn)A,A'是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)C,C'是對(duì)應(yīng)點(diǎn)).請(qǐng)問:是否存在這樣的點(diǎn)P,使得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A'和點(diǎn)C'分別落在直線l和拋物線y=ax2﹣3ax+c的圖象上?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) A(﹣1,0);(2) y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2;(3)見解析.
【解析】
(1)由題意可得C(0,c),且CD∥x軸,可得D(3,c),根據(jù)面積比可得AB=5.由對(duì)稱性可得點(diǎn)A(-2m,0)到對(duì)稱軸的距離2倍是5,可求m,即可求A點(diǎn)坐標(biāo).
(2)由直線l過(guò)D點(diǎn)可求D(3,2),由A,B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱可求B(4,0),則可用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式.
(3)由點(diǎn)A是直線l上一點(diǎn),繞直線l上點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),且落在直線l上,因此可得點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合,或點(diǎn)A繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到A'.設(shè)C'(a,-a2+a+2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求A'點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)
∵二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常數(shù))的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)
∴C(0,c,),對(duì)稱軸是直線x==.
∵CD∥x軸.
∴C,D關(guān)于對(duì)稱軸直線x=對(duì)稱.
∴D(3,c).
∵S△ACD:S△ABD=3:5.且△ACD和△ABD是等高的.
∴.
∴AB=5.
∵直線y=x+m與x軸交于A點(diǎn),
∴A(﹣2m,0).
∵點(diǎn)A,點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱.
∴2×[﹣(﹣2m)]=5.
∴m=.
∴A(﹣1,0),且AB=5.
∴B(4,0).
(2)設(shè)拋物線解析式y=a(x+1)(x﹣4).
∵m=.
∴直線AD解析式y=x+.
∵D(3,c)在直線AD上.
∴c=+=2.
∴D(3,2)且在拋物線上.
∴2=a(3+1)(3﹣4).
∴a=﹣.
∴拋物線解析式y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2.
(3)∵點(diǎn)A在直線l上,旋轉(zhuǎn)后A'點(diǎn)落在直線l上,
∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合,或者點(diǎn)A繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°.
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合時(shí),A'(﹣1,0).
當(dāng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到A',點(diǎn)C繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到C'
∴AP=A'P,CP=CP'.
如圖2:
設(shè)C'(a,﹣a2+a+2).
∵C( 0,2),CP=CP'.
∴P(a,﹣a2+a+2).
∵點(diǎn)P在直線l上,
∴﹣a2+a+2=a+.
即 a2﹣2a﹣6=0.
解得:a1=1+,a2=1﹣.
當(dāng)a1=1+時(shí),y=×(1+)+=.
∴P(,).
∵AP=A'P.
∴A'(2+,).
當(dāng)a2=1﹣時(shí),y=×(1﹣)+=.
∴P(,).
∵AP=AP'.
∴A'(2﹣,).
綜上所述A'(2﹣,),(2+,),(﹣1,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明、小剛和小紅打算各自隨機(jī)選擇本周日的上午或下午去揚(yáng)州馬可波羅花世界游玩.
小明和小剛都在本周日上午去游玩的概率為________;
求他們?nèi)嗽谕粋(gè)半天去游玩的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果拋物線y=ax2+bx+c過(guò)定點(diǎn)M(1,0),則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線.
(1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目:請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋物線的解析式.小敏寫出了一個(gè)正確的答案:y=2x2+3x-5.請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案;
(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題:已知定點(diǎn)拋物線y=-x2+2bx+c,求該拋物線的頂點(diǎn)最低時(shí)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)ABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;并寫出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C';
(3)請(qǐng)作出將△ABC向下平移的3個(gè)單位,再向右平移5個(gè)單位后的△A1B1C1;則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_____;點(diǎn)B1的坐標(biāo)為______,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,我們就稱其中一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù),也稱函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù).
求函數(shù)的中心對(duì)稱函數(shù);
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,E,F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為已知函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù);
請(qǐng)?jiān)趫D中作出二次函數(shù)的頂點(diǎn)作圖工具不限,并畫出函數(shù)的大致圖象;
當(dāng)四邊形EPFQ是矩形時(shí),請(qǐng)求出a的值;
已知二次函數(shù)和互為中心對(duì)稱函數(shù),且的圖象經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí),求代數(shù)式的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將拋物線c1: 沿x軸翻折,得到拋物線c2,如圖1所示.
(1)請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N,與軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E.
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí),求m的值;
②在平移過(guò)程中,是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等.
()求實(shí)數(shù)、的值.
()如圖,動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),其中點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.連接,將沿翻折,使點(diǎn)落在點(diǎn)處,得到.
①是否存在某一時(shí)刻,使得為直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②設(shè)與重疊部分的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,剪兩張對(duì)邊平行且寬度相等的紙條隨意交叉疊放在一起,轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張,重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形,則下列結(jié)論中不一定成立的是( )
A. ∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B. AB=BC
C. AB=CD,AD=BC D. ∠DAB+∠BCD=180°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在拋物線上.
若,,求的值;
若此拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且二次函數(shù)的最小值是,請(qǐng)畫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的圖象,并說(shuō)明理由.
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