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【題目】綜合與探究

如圖,在平面直角坐標系中,點為坐標原點,拋物線軸交于點,與軸交于點,,拋物線的對稱軸交拋物線于點,交軸于點,交直線于點

1)求拋物線的函數表達式及其對稱軸:

2)點是線段上一點,且,求點的坐標;

3)若點是拋物線上任意一點,點是直線上任意一點,點是平面上任意一點,是否存在這樣的點,,使得以點,,為頂點的四邊形是正方形,若存在,請直接寫出點的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1);x=2;(2);(3Q點的坐標為

【解析】

1)將點B、C坐標代入即可得出拋物線解析式,再根據求對稱軸公式求對稱軸即可;

2)先根據直線解析式以及拋物線解析式求出點F的坐標,得出,再根據可得出,從而確定點G的坐標;

3)通過分析當CP為正方形的邊且M位于直線下方拋物線上時可得出以點,,,為頂點的四邊形是正方形,畫出示意圖,再根據正方形的性質求解即可.

解:(1)∵拋物線經過,

解得

∴拋物線的函數表達式為

∴拋物線的對稱軸為直線

2)∵拋物線軸交于點,

∴當時,

設直線的函數表達式為

,代入,得解得

∴直線的函數表達式為

時,,∴

,

中,

中,

,即

3)存在,,理由如下:

若以點,,為頂點的四邊形是正方形,則相鄰的兩邊垂直且相等.

CP為對角線時,則需,不存在符合條件的Q點;

CP為對角線,CM為邊時,若點M位于直線AC上方拋物線上時,同理需要,不存在符合條件的Q點;

M位于直線AC下方拋物線上時,即點B與點M重合時,存在點Q,使以點,,,為頂點的四邊形是正方形.

過點B,

∵以,為頂點的四邊形是正方形

,關于BC對稱

過點D

∵直線AC的解析式為

∴當時,

練習冊系列答案
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