Question

【題目】綜合與實(shí)踐

（問(wèn)題情境）

在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E，F分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且DF=3。

（操作發(fā)現(xiàn)）

(1)沿CE折疊紙片，B點(diǎn)恰好與F點(diǎn)重合，求AE的長(zhǎng)；

(2)如圖2，延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)判斷△CEM的形狀，并說(shuō)明理由。

（深入思考）

(3)把圖2置于平面直角坐標(biāo)系中，如圖3，使D點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，C點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，將△CEM沿CE翻折，使點(diǎn)M落在點(diǎn)M′處.連接CM′，求點(diǎn)M′的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) AE的長(zhǎng)為；(2)ΔCEM是等腰三角形，理由見(jiàn)解析； (3)M′(-，5).

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=90°，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)得：FE=BE，設(shè)FE=BE=x，則AE=AB-BE=4-x，求出AF=AD-DF=5-3=2，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠BEC=∠MCE，由折疊的性質(zhì)得：∠BEC=∠CEM，得出∠MCE=∠CEM，證出MC=ME即可；

（3）由平行線得出△DFM∽△AFE，得出，解得：DM=，得出ME=MC=CD+DM=，由折疊的性質(zhì)得：M'E=ME=，得出AM'=M'E+AE=，即可得出答案．

(1)設(shè)AE=x.則BE=4-x

由折疊知：EF=BE=4-x

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD=BC=5

∴AF=AD-DF=5-3=2

在Rt△AEF中，由勾股定理得

AE2+AF2=EF2

即

∴

答：AE的長(zhǎng)為；

(2)ΔCEM是等腰三角形，理由如下：

由折疊知：∠BEC=∠MEC

∵四邊形ABCD為矩形

∴AB∥CD

∴∠BEC=∠MCE

∴∠MEC=∠MCE

∴ME=MC

∴ΔCEM是等腰三角形

(3)由折疊知：M′E=ME，M′C=MC

由(2)得：ME=MC

∴M′E=ME=MC=M′C

∴四邊形M′CME是菱形.

由題知：E(-，5)，F(0，3)

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b

∴

∴

令y=0得

∴M(，0)

∴0M=

∴CM=4+=

∴M′E=MC=

∴M′A=M′E+EA=+=

∴.M′(-，5).