Question

【題目】在中，，，點是的中點，，垂足為點，連接．

（1）如圖1，與的數(shù)量關(guān)系是________；

（2）如圖2，若是線段上一動點（點不與點、重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，請猜想、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若點是線段延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）作圖見解析，

【解析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC-BP，DE=BC可得到；

（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，則BF-BP=BC，所以．

解：（1）∵，

∴

∵點是的中點，

∴

∴為等邊三角形，

∵，

∴

（2）∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段

∴，，

∴

即

在與中

∴

∴

由（1）知：

（3）

∴

即

在和中

∴

∴

而CP=BC+BP，

∴BF-BP=BC，