【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A(t,0)作垂直于x軸的直線l,在直線l上取點(diǎn)B,點(diǎn)B在第一象限,AB=4,直線OB:y1=kx(k為常數(shù)).

(1)當(dāng)t=2時(shí),求k的值;

(2)經(jīng)過O,A兩點(diǎn)作拋物線y2=ax(x﹣t)(a為常數(shù),a>0),直線OB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

①用含a,t的式子表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo);

②當(dāng)t≤x≤t+4時(shí),|y1﹣y2|的值隨x的增大而減小;當(dāng)x≥t+4時(shí),|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大,求a與t的關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍.

【答案】(1)k=2;(2)當(dāng)t≤x≤t+4時(shí),|y1﹣y2|的值隨x的增大而減。划(dāng)x≥t+4時(shí),|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大時(shí),a與t的關(guān)系式a=(t≥4).

【解析】分析:(1)找出當(dāng)t=2時(shí),B點(diǎn)的坐標(biāo),將其代入直線OB:y1=kx中即可;
(2)①用t表示出直線OB的關(guān)系式,令y1=y2,即可用含at的式子表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo);
②找出的關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)為一個(gè)開口向下的拋物線,結(jié)合給定條件能夠得知,拋物線的對(duì)稱軸不超過,且拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(t+4,0).由此可得出at的關(guān)系式并能知道t的取值范圍.

詳解:(1)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),

∵經(jīng)過點(diǎn)A(t,0)作垂直于x軸的直線l,在直線l上取點(diǎn)B,點(diǎn)B在第一象限,AB=4,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4).

∵點(diǎn)B在直線OB:y1=kx(k為常數(shù))上,

∴有4=2k,解得:k=2.

(2)①點(diǎn)B(t,4)在直線OB:y1=kx上,

∴有4=kt,解得:

y1=y2,

解得:x=0或者

故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)

a>0,

a<0,函數(shù)圖象開口向下,函數(shù)圖象大體如下圖

∵當(dāng)時(shí),的值隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí), 的值隨x的增大而增大,

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸在x=t的左側(cè)或者重合,而且二次函數(shù)x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(t+4,0).

∴有

解得:

二次函數(shù)對(duì)稱軸

at=1,

故當(dāng)時(shí),的值隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí), 的值隨x的增大而增大時(shí),at的關(guān)系式().

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