如圖,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,點(diǎn)E是CD上的一個動點(diǎn)(E不與D重合),過點(diǎn)E作EF∥AC,交AD于點(diǎn)F(當(dāng)E運(yùn)動到C時精英家教網(wǎng),EF與AC重合).把△DEF沿EF對折,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,設(shè)DE=x,△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y.
(1)求CD的長及∠1的度數(shù);
(2)若點(diǎn)G恰好在BC上,求此時x的值;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.并求x為何值時,y的值最大?最大值是多少?
分析:(1)將AB平移,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,利用勾股定理,則可得出CD的長度,根據(jù)CD與AD的長度關(guān)系可得出∠DAC的度數(shù),也就得出了∠1的度數(shù).
(2)根據(jù)點(diǎn)G落在BC上時,有GE=DE=x,EC=3
3
-x
,求出∠GEF=∠GEC=60°,然后根據(jù)GE=2CE列出方程即可得出x的值.
(3)根據(jù)△EFG≌△EFD列出y的表達(dá)式,從而討論x的范圍,分別得出可能的值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC于H,
∵∠B=60°,
∴∠BAH=30°,
∴BH=
1
2
AB=6×
1
2
=3,AH=
AB2-BM2
=3
3

∵∠D=∠BCD=90°,
∴四邊形AHCD是矩形,
∴CD=AH=3
3

∵AD=9,
∴tan∠DAC=
CD
AD
=
3
3

∴∠DAC=30°,
∵EF∥AC,
∴∠1=∠DAC=30°,
∴CD=3
3
,∠1=30°;

(2)若點(diǎn)G恰好在BC上,
則有GE=DE=x,EC=3
3
-x

∵∠1=30°,
∴∠FED=60°,
∴∠GEF=60°,
∴∠GEC=60°,
∴GE=2CE,
x=2(3
3
-x)
,
x=2
3


(3)∵△EFG≌△EFD,
y=S△EFD=
1
2
×DE×DF=
3
2
x2
,當(dāng)0≤x≤2
3
時,y隨著x的增大,面積增大,
此時△的面積就是重疊的面積,當(dāng)x=2
3
時,達(dá)到最大值,為6
3

②當(dāng)3
3
x>2
3
,△EFG就有一部分在梯形外,如圖,
精英家教網(wǎng)∵GE=DE=x,EC=3
3
-x
,
易求ME=2(3
3
-x)

GM=GE-ME=x-2(3
3
-x)=3x-6
3
,
∴NG=
3x-6
3
3
=
3
x-6
,
S△MNG=
1
2
NG×MG=
1
2
(
3
x-6)(3x-6
3
)=
3
2
(
3
x-6)2
,
此時y=S△EFD-S△MNG=
1
2
×DE×DF-
1
2
NG×MG=
3
2
x2-
3
2
(
3
x-6)2=-
3
(x2-6
3
x+18)

=-
3
(x2-6
3
x+18)=-
3
(x-3
3
)2+9
3
,
當(dāng)x=3
3
時,ymax=9
3

綜上所述.當(dāng)x=3
3
時,ymax=9
3
點(diǎn)評:本題考查直角梯形與三角形的綜合,難度較大,解答本題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識,然后將所求的題目具體化,從而利用所學(xué)的知識建立模型,然后有序解答.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點(diǎn).將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結(jié)果精確到0.1cm)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動,E點(diǎn)同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設(shè)四邊形AFEC的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G、H.過點(diǎn)F引⊙O的切線交BC于點(diǎn)N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設(shè)∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點(diǎn)E、F分別是腰AD、BC上的動點(diǎn),點(diǎn)G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設(shè)FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點(diǎn)F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當(dāng)∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā),點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動,點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動,當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.
(1)經(jīng)過幾秒鐘,點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時的移動時間;若不存在,請說明理由.

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