Question

（2012•溫州）如圖，已知動點A在函數(shù)y=

4

x

(x＞0)的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x軸于點P，Q．當QE：DP=4：9時，圖中陰影部分的面積等于

13

3

．

Answer 1

分析：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．令A(yù)（t，

4

t

），則AD=AB=DG=

4

t

，AE=AC=EF=t，則圖中陰影部分的面積=△ACE的面積+△ABD的面積=

1

2

t²+

1

2

×

16

t2

，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=

t4+16

t

，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=

t t4+16

4

，△ADE∽△GPD，求出DP=：

4 t4+16

t3

，然后根據(jù)QE：DP=4：9，即可得出t²=

8

3

．

解答：解：解法一：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．
令A(yù)（t，

4

t

），則AD=AB=DG=

4

t

，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE=

AD2+AE2

=

16 t2 +t2

=

t4+16 t2

=

t4+16

t

．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE=

t t4+16

4

，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP=

4 t4+16

t3

．
又∵QE：DP=4：9，
∴=

t t4+16

4

：

4 t4+16

t3

=4：9，
解得t²=

8

3

．
∴圖中陰影部分的面積=

1

2

AC²+

1

2

AB²=

1

2

t²+

1

2

×

16

t2

=

4

3

+3=

13

3

；

解法二：∵QE：DP=4：9，
∴EF：PG=4：9，
設(shè)EF=4t，則PG=9t，
∴A（4t，

1

t

），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=4t，AD=

1

t

，DG=

1

t

，GP=9t，
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t：

1

t

=

1

t

：9t，即t²=

1

6

，
圖中陰影部分的面積=

1

2

×4t×4t+

1

2

×

1

t

×

1

t

=

13

3

．
故答案為：

13

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識，綜合性較強，有一定難度．根據(jù)QE：DP=4：9，得出t²的值是解題的關(guān)鍵．