Question

（2012•溫州）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B．記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C（B、C不重合）．連接CB，CP．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連接CA，問m為何值時(shí)CA⊥CP？
（3）過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而求出BC的長；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到：

AH

CH

=

PB

BC

，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本題要分當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=-x²+6x
令y=0得-x²+6x=0
∴x₁=0，x₂=6，
∴A（6，0）
當(dāng)x=1時(shí)，y=5
∴B（1，5）
∵拋物線y=-x²+6x的對稱軸為直線x=3
又∵B，C關(guān)于對稱軸對稱
∴BC=4．

（2）連接AC，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴

AH

CH

=

PB

BC

，
∵拋物線y=-x²+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，
又∵B，C關(guān)于對稱軸對稱，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0），
∴AH=1，CH=2m-1，
∴

1

2m-1

=

m-1

2(m-1)

，
∴m=

3

2

．

（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，
在△BPC和△MEP中，

∠CBP=∠PME PC=EP ∠BPC=∠PEM

，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0）；
（ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖2），
過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，4）；
（II）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖3），
易證△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，
∴m=

2

3

，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（

4

3

，0）；
（ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖4），
過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，∴m=0（舍去），
綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0）或（0，4），
當(dāng)m=

2

3

時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（

4

3

，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定、需注意的是（3）題在不確E點(diǎn)的情況下需要分類討論，以免漏解．題目的綜合性強(qiáng)，難度也很大，有利于提高學(xué)生的綜合解題能力，是一道不錯(cuò)的題目．