【題目】如圖,在平面直角坐標系中,頂點為(4,1)的拋物線交y軸于點A,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知C點坐標為(6,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間.問:當(dāng)點P運動到什么位置時,△PAC的面積最大?求出△PAC的最大面積;
(3)連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于點D,以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切,先補全圖形,再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明.
【答案】
(1)解:∵拋物線的頂點為(4,1),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣4)2+1.
∵拋物線經(jīng)過點C(6,0),
∴0=a(6﹣4)2+1,解得a=﹣ ,
∴y=﹣ (x﹣4)2+1=﹣ x2+2x﹣3.
所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x﹣3.
(2)解:如圖1,過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q,
∵A(0,﹣3),C(6,0),
∴直線AC解析式為y= x﹣3.
設(shè)P點坐標為(m,﹣ m2+2m﹣3),
則Q點的坐標為(m, m﹣3),
∴PQ=﹣ m2+2m﹣3﹣( m﹣3)=﹣ m2+ m,
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ= ×(﹣ m2+ m)×6=﹣ (m﹣3)2+ ,
∴當(dāng)m=3時,△PAC的面積最大為 .
∵當(dāng)m=3時,﹣ m2+2m﹣3= ,
∴P點坐標為(3, ).
綜上:P點的位置是(3, ),△PAC的最大面積是 .
(3)解:判斷直線BD與⊙C相離.
證明:令﹣ (x﹣4)2+1=0,解得x1=2,x2=6,
∴B點坐標(2,0).
又∵拋物線交y軸于點A,
∴A點坐標為(0,﹣3),
∴AB= .
設(shè)⊙C與對稱軸l相切于點F,則⊙C的半徑CF=2,
作CE⊥BD于點E,如圖2,則∠BEC=∠AOB=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠CBE=90°﹣∠ABO.
又∵∠BAO=90°﹣∠ABO,
∴∠BAO=∠CBE.
∴△AOB∽△BEC,
∴ ,
∴ ,
∴CE= >2.
∴直線BD與⊙C相離.
【解析】(1)由于本題告訴了拋物線的頂點,故設(shè)頂點式,然后又把點C的坐標代入即可求出二次項系數(shù)a的值,從而得出函數(shù)解析式;
(2)如圖1,過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q,由A,C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,根據(jù)拋物線上點的坐標特點設(shè)出P點的坐標,進而表示出Q點的坐標,從而表示出PQ的長度,根據(jù)S△PAC=S△PAQ+S△PCQ,建立出函數(shù)關(guān)系式,并化為頂點式知當(dāng)m=3時,△PAC的面積最大,然后把m=3代入P點的坐標表達式,從而得出P點的坐標;
(3)判斷直線BD與⊙C相離.首先找到B、A點的坐標,根據(jù)勾股定理得出AB的長,設(shè)⊙C與對稱軸l相切于點F,則⊙C的半徑CF=2,作CE⊥BD于點E,如圖2,則∠BEC=∠AOB=90°,然后根據(jù)同角的余角相等得出∠BAO=∠CBE,進而判斷出△AOB∽△BEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得性質(zhì)得出CE的長從而根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系作出判斷即可。
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請你補全證明過程:如圖,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求證:EF∥CD
證明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=90°,∠ACB=90°①( )
∴∠DGB=∠ACB ②( )
∴DG∥AC ③( )
∴∠2= ④________ ⑤( )
又∠1=∠2 ⑥( )
∴∠1=∠DCA ⑦( )
∴EF∥CD ⑧( )
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點D作DE⊥AC,垂足為F,
DE與AB相交于點E.
(1)求證:ABAF=CBCD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動點.設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為y .
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個最大值,若不存在請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,將△BCD沿對角線BD翻折,點C落在點C′處,BC′交AD于點E,則△BDE的面積為( 。
A. B. C. 21D. 24
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l與⊙O,AB是⊙O的直徑,AD⊥l于點D.
(1)如圖①,當(dāng)直線l與⊙O相切于點C時,求證:AC平分∠DAB;
(2)如圖②,當(dāng)直線l與⊙O相交于點E,F(xiàn)時,求證:∠DAE=∠BAF.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】周末,小明坐公交車到濱海公園游玩,他從家出發(fā)0.8小時后達到中心書城,逗留一段時間后繼續(xù)坐公交車到濱海公園,小明離家一段時間后,爸爸駕車沿相同的路線前往海濱公園. 如圖是他們離家路程s(km)與小明離家時間t(h)的關(guān)系圖,請根據(jù)圖回答下列問題:
(1)圖中自變量是____,因變量是______;
(2)小明家到濱海公園的路程為____ km,小明在中心書城逗留的時間為____ h;
(3)小明出發(fā)______小時后爸爸駕車出發(fā);
(4)圖中A點表示___________________________________;
(5)小明從中心書城到濱海公園的平均速度為______km/h,小明爸爸駕車的平均速度為______km/h;(補充;爸爸駕車經(jīng)過______追上小明);
(6)小明從家到中心書城時,他離家路程s與坐車時間t之間的關(guān)系式為________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為( )
A.2
B.2
C.2
D.8
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛,它們同時出發(fā),分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行,其中一只蝸牛爬到終點時,另一只也停止運動,經(jīng)過t分鐘后,它們分別爬行到D、E處,請問:
(1)如圖1,在爬行過程中,CD和BE始終相等嗎,請證明?
(2)如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”,改為“沿著AB和CA的延長線爬行”,EB與CD交于點Q,其他條件不變,蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變,請利用圖2說明:∠CQE=60°;
(3)如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行,連接DE交AC于F”,其他條件不變,如圖3,則爬行過程中,證明:DF=EF
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司銷售一種進價為20 (元/個)的計算器,其銷售量y (萬個)與銷售價格x (元/個)之間為一次函數(shù)關(guān)系,其變化如下表:
價格x (元/個) | … | 30 | 50 | … |
銷售量y (萬個) | … | 5 | 3 | … |
同時,銷售過程中的其他開支(不含進價)總計40萬元.若該公司要獲得40萬元的凈利潤,且盡可能讓顧客得到實惠,那么銷售價格應(yīng)定為多少?
(注:凈利潤=總銷售額﹣總進價﹣其他開支)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com