【題目】如圖,OF是∠MON的平分線,點A在射線OM上,P,Q是直線ON上的兩動點,點Q在點P的右側(cè),且PQ=OA,作線段OQ的垂直平分線,分別交直線OF、ON交于點B、點C,連接AB、PB

1)如圖1,當P、Q兩點都在射線ON上時,請直接寫出線段ABPB的數(shù)量關(guān)系;

2)如圖2,當P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時,線段AB,PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系?若存在,請寫出證明過程;若不存在,請說明理由;

3)如圖3,MON=60°,連接AP,設(shè)=k,當PQ兩點都在射線ON上移動時,k是否存在最小值?若存在,請直接寫出k的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)AB=PB;(2)存在;(3)k=0.5.

【解析】試題分析:(1)結(jié)論:AB=PB.連接BQ,只要證明AOB≌△PQB即可解決問題;

2)存在.證明方法類似(1);

3)連接BQ.只要證明ABP∽△OBQ,即可推出=,由AOB=30°,推出當BAOM時, 的值最小,最小值為0.5,由此即可解決問題;

試題解析:解:(1)連接:AB=PB.理由:如圖1中,連接BQ

BC垂直平分OQ,BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQOOF平分MON,∴∠AOB=∠BQOOA=PQ,∴△AOB≌△PQBAB=PB

2)存在,理由:如圖2中,連接BQ

BC垂直平分OQ,BO=BQ∴∠BOQ=∠BQO,OF平分MON,BOQ=∠FON,∴∠AOF=∠FON=∠BQC,∴∠BQP=∠AOB,OA=PQ,∴△AOB≌△PQBAB=PB

3)連接BQ

易證ABO≌△PBQ,∴∠OAB=BPQAB=PB,∵∠OPB+BPQ=180°,∴∠OAB+OPB=180°,AOP+ABP=180°,∵∠MON=60°∴∠ABP=120°,BA=BP∴∠BAP=BPA=30°,BO=BQ,∴∠BOQ=BQO=30°,∴△ABP∽△OBQ, =,∵∠AOB=30°,BAOM時, 的值最小,最小值為0.5,k=0.5

點睛:本題考查相似綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,屬于中考?碱}型.

型】解答
結(jié)束】
28

【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直線l:y=﹣x﹣4與x軸交于點D,點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點,過點P作PEx軸,垂足為E,交直線l于點F.

(1)試求該拋物線表達式;

(2)如圖(1),若點P在第三象限,四邊形PCOF是平行四邊形,求P點的坐標;

(3)如圖(2),過點P作PHy軸,垂足為H,連接AC.

求證:ACD是直角三角形;

試問當P點橫坐標為何值時,使得以點P、C、H為頂點的三角形與ACD相似?

【答案】1y=x2+x4;(2)點P的坐標為(﹣,)或(﹣8,﹣4);(3點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時,使得以點P、C、H為頂點的三角形與ACD相似.

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法列方程求解析式.(2)P,F(xiàn)點坐標用m表示寫出來,利用四邊形PCOF是平行四邊形得到m值,求得P點坐標.(3)由兩點間的距離公式可知分別計算AC,CD,AD勾股定理逆定理知三角形是直角三角形;②分類討論,ACD∽CHPACD∽PHC分別計算P點坐標.

試題解析:

解:(1)由題意得: ,解得: ,

拋物線的表達式為y=x2+x4

2)設(shè)Pm, m2+m4),則Fm,m4).

PF=m4m2+m4=m2m

PEx軸,

PFOC

PF=OC時,四邊形PCOF是平行四邊形.

∴﹣m2m=4,解得:m=m=8

m=時, m2+m4=,

m=8時, m2+m4=4

P的坐標為(﹣,﹣)或(﹣8,4).

3證明:把y=0代入y=x4得:﹣x4=0,解得:x=8

D﹣8,0).

OD=8

A2,0),C0,﹣4),

AD=2﹣﹣8=10

由兩點間的距離公式可知:AC2=22+42=20DC2=82+42=80AD2=100,

AC2+CD2=AD2

∴△ACD是直角三角形,且ACD=90°

ACD=90°

ACDCHP ,即,

解得:n=0(舍去)或n=﹣5.5n=﹣10.5

ACDPHC時, ,即,

解得:n=0(舍去)或n=2n=﹣18

綜上所述,點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.52或﹣18時,使得以點P、C、H為頂點的三角形與ACD相似.

練習冊系列答案
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2)問題拓展 如圖2,在△ABC中,ACBCAB,點PCA延長線上一點,連接BP,將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)到線段PD,使得∠BPD=∠C,連接AD,則線段CPAD之間存在的數(shù)量關(guān)系為CPAD,請給予證明;

3)問題解決 如圖3,在△ABC中,ACBCAB2,點P在直線AC上,且∠APB30°,將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°到線段PD,連接AD,請直接寫出△ADP的周長.

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1)請直接寫出沖鋒舟從地到地所用的時間.

2)求水流的速度.

3)沖鋒舟將地群眾安全送到地后,又立即去接應救生艇.已知救生艇與地的距離(千米)和沖鋒舟出發(fā)后所用時間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為,假設(shè)群眾上下船的時間不計,求沖鋒舟在距離地多遠處與救生艇第二次相遇?

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AD是∠BAC的平分線;

CDADC的高;

③點DAB的垂直平分線上;

④∠ADC=61°

其中正確的有( .

A. 1B. 2C. 3D. 4

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