Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5dcm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC，如下圖（2）所示：

設(shè)路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC，如上圖（1）所示：
設(shè)路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225
∴l(xiāng)₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l(xiāng)₁²＞l₂²
∴l(xiāng)₁＞l₂
所以要選擇路線2較短。
（1）小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dcm，高AB為5dcm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1：l₁²=AC²=________；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=_______
∵l₁²______l₂²
∴l(xiāng)₁_____l₂（填＞或＜）,
∴選擇路線____（填1或2）較短；
（2）請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短。

Answer 1

解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49，
∵l₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂，
∴選擇路線1較短；
（2）l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h₂+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可，
當(dāng)時(shí)，l₁²=l₂²；
當(dāng)r＞時(shí)，l₁²＞l₂²；
當(dāng)r＜時(shí)，l₁²＜l₂²。