(2013•貴陽模擬)請閱讀下列材料:
問題:如圖1,圓柱的底面半徑為1dm,BC是底面直徑,圓柱高AB為5dm,求一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線,小明設(shè)計了兩條路線:
路線1:高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側(cè)面展開圖中的線段AC,如圖2所示.(結(jié)果保留π)

(1)設(shè)路線1的長度為L1,則L12=
49
49
.設(shè)路線2的長度為L2,則L22=
25+π2
25+π2
.所以選擇路線
2
2
(填1或2)較短.
(2)小明把條件改成:“圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1dm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計算.此時,路線1:L12=
121
121
.路線2:L22=
1+25π2
1+25π2
.所以選擇路線
1
1
(填1或2)較短.
(3)請你幫小明繼續(xù)研究:當(dāng)圓柱的底面半徑為2dm,高為hdm時,應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的路線最短.
分析:(1)根據(jù)勾股定理易得路線l22=AC2=高2+底面周長一半2;路線1:l12=(高+底面直徑)2;讓兩個平方比較,平方大的,底數(shù)就大.
(2)根據(jù)勾股定理易得路線l22=AC2=高2+底面周長一半2;路線1:l12=(高+底面直徑)2;讓兩個平方比較,平方大的,底數(shù)就大.
(3)根據(jù)(1)得到的結(jié)論讓兩個代數(shù)式分三種情況進(jìn)行比較即可.
解答:解:(1)∵l12=72=49,
L22=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2,
49>25+25π2,
所以選擇路線2較短;

(2)∵L12=(AB+BC)2=(1+10)2=121,
L22=1+25π2
∵l12-l22>0,
∴l(xiāng)12>l22,∴l(xiāng)1>l2,所以要選擇路線1較短.

(3)當(dāng)圓柱的底面半徑為2dm,高為hdm時,
l22=AC2=AB2+
BC
2=h2+4π2,
l12=(AB+BC)2=(h+4)2
l12-l22=(h+4)2-h2+(2π)2=4π2-8h-16=4[(π2-4)-2h];
當(dāng)(π2-4)-2h=0時,即h=
π2-4
2
時,l12=l22;
當(dāng)h>
π2-4
2
時,l12<l22;
當(dāng)h<
π2-4
2
時,l12>l22
故答案為:49,25+π2,2;121,1+25π2,1.
點(diǎn)評:此題主要考查了平面展開最短路徑問題,比較兩個數(shù)的大小,有時比較兩個數(shù)的平方比較簡便,比較兩個數(shù)的平方,通常讓這兩個數(shù)的平方相減.注意運(yùn)用類比的方法做類型題.
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