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【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸相交于點C,連結BC,點P為拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線l,交直線BC于點G,交x軸于點E.

(1)求拋物線的表達式;

(2)當P位于y軸右邊的拋物線上運動時,過點C作CF直線l,F為垂足,當點P運動到何處時,以P,C,F為頂點的三角形與OBC相似?并求出此時點P的坐標;

(3)如圖2,當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時,連結PC,PB,請問PBC的面積S能否取得最大值?若能,請出最大面積S,并求出此時點P的坐標,若不能,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.(2)點P的坐標為(2,6)或(4,0).(3)△PBC的面積的最大值為8.

【解析】試題分析:(1)將點A(-1,0),B(4,0)的坐標代入拋物線的解析式,求得b、c的值即可;

(2)先由函數解析式求得點C的坐標,從而得到△OBC為等腰直角三角形,故此當CF=PF時,以P,CF為頂點的三角形與△OBC相似.

設點P的坐標為(a,-a2+3a+4).則CF=a,PF=-a2+3a,接下來列出關于a的方程,從而可求得a的值,于是可求得點P的坐標;

(3)連接EC.設點P的坐標為(a,-a2+3a+4).則OE=a,PE=-a2+3a+4,EB=4-a.然后依據S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與a的函數關系式,從而可求得三角形的最大面積.

試題解析:(1)將點A(-1,0),B(4,0)的坐標代入函數的表達式得:

解得:b=3,c=4.

拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

(2)如圖1所示:

∵令x=0得y=4,

OC=4.

OC=OB

∵∠CFP=∠COB=90°,

FC=PF時,以P,CF為頂點的三角形與△OBC相似.

設點P的坐標為(a,-a2+3a+4)(a>0).

CF=aPF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|.

∴|a2-3a|=a

解得:a=2,a=4.

∴點P的坐標為(2,6)或(4,0).

(3)如圖2所示:連接EC

設點P的坐標為(a,-a2+3a+4).則OE=aPE=-a2+3a+4,EB=4-a

S四邊形PCEB=OBPE=×4(-a2+3a+4),S△CEB=EBOC=×4×(4-a),

S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB=2(-a2+3a+4)-2(4-a)=-2a2+8a

a=-2<0,

∴當a=2時,△PBC的面積S有最大值.

P(2,6),△PBC的面積的最大值為8.

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