Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)點(diǎn)，，且滿足，點(diǎn)在直線的左側(cè)，且．

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）P（4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）將利用完全平方公式變形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a、b的值；

（2）由b的值得到OB=4，根據(jù)得到OP=OB=4，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由可分兩種情況求使為直角三角形，當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)證明三角形全等，由此得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）∵a2-4a+4+|2a-b|＝0，

∴（a-2）2+|2a-b|＝0，

∴a＝2，b＝4．

（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．

∴OB＝4．

∵點(diǎn)P在直線 AB 的左側(cè)，且在 x 軸上，∠APB＝45°

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（2,0），B（0,4）

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

如圖，

①當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，∵∠BAP＝45°，

∴∠APB＝∠BAP＝45°.

∴AB＝PB .

過(guò)點(diǎn) P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC .

在△AOB 和△BCP 中，，

∴△AOB≌△BCP(AAS) .

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2 .

∴OC＝OB﹣BC＝2.

∴P(-4，2)

②當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P'作P'D⊥OA于D，

同①的方法得，△ADP'≌△BOA.

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4.

∴OD＝AD﹣OA＝2.

∴P'（﹣2，-2）.

即：滿足條件的點(diǎn)P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）.