【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4、5個(gè)單位,直線l從與AC重合的位置開始,以每秒 個(gè)單位的速度沿CB方向移動(dòng),移動(dòng)過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)t=秒時(shí),△PCE是等腰直角三角形;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),將△PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1落在EF上,點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F1 , 當(dāng)EF1⊥AB時(shí),求t的值;
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q,在運(yùn)動(dòng)過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;
(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)△PEF的面積為S,請(qǐng)直接寫出S的最大值.

【答案】
(1)
(2)

解:如圖1,

由題意,∠PEF=∠P1EF1,

∵EF∥AC,∠C=90°,

∴∠BEF=90°,

∠CPE=∠PEF,

∵EF1⊥AB,

∴∠B=∠P1EF1

∴∠CPE=∠B,

∴tan∠CPE=tanB= = ,

∵tan∠CPE= ,

=

∴CP= CE,

∵AP=3t(0<t<3),CE= t,

∴CP=9﹣3t,

∴9﹣3t= × t,解得t=


(3)

解:如圖2,連接PQ交EF于點(diǎn)O,

∵P、Q關(guān)于直線EF對(duì)稱,

∴EF垂直平分PQ,

若四邊形PEQF為菱形,則OE=OF= EF

①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),

易知四邊形POEC為矩形,

∴OE=PC,

∴PC= EF,

∵CE= t,

∴BE=12﹣ t,EF=BEtanB= (12﹣ t)=9﹣t,

∴9﹣3t= (9﹣t),解得t=

②當(dāng)點(diǎn)P在CB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),P、E、Q三點(diǎn)共線,不存在四邊形PEQF;

③如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)P在點(diǎn)B、F之間,

∵BE=12﹣ t,

∴BF= = (12﹣ t)=15﹣ t,

∵BP=5(t﹣6),

∴PF=BF﹣BP=15﹣ t﹣5(t﹣6)=45﹣ t,

∵∠POF=∠BEF=90°,

∴PO∥BE,

∴∠OPF=∠B,

在Rt△POF中,sin∠OPF=sinB,

= ,

,解得t=

∴當(dāng)t= 或t= 時(shí),四邊形PEQF為菱形.


(4)

解:在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得,BC=12,

當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí),0≤t≤3,

當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí),

點(diǎn)P和點(diǎn)E重合時(shí),4(t﹣3)= t,

∴t=4.5,

當(dāng)P剛好到點(diǎn)B時(shí),t=6,

當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí),且和點(diǎn)F重合時(shí),

∵l∥AC,

∴△BEF∽△BCA,

,

,

,

∴t=6.75,

①當(dāng)0≤t≤6時(shí),如圖4,

由運(yùn)動(dòng)知,CE= t,

∴BE=12﹣ t,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BCA,

∴EF=9﹣t,

∴SPEF= EFCE= (9﹣t)× t=﹣ (t﹣ 2+

此時(shí)當(dāng)t=3時(shí),SPEF最大=﹣ (3﹣ 2+ =12,

②當(dāng)3<t<4.5時(shí),如圖5,

由運(yùn)動(dòng)知,PE= t﹣4(t﹣3)=﹣ t+12,

∴SPEF= EFPE= (9﹣t)(﹣ t+12)= t2﹣18t+54,

此時(shí)不存在最大值,

③當(dāng)4.5<t≤6時(shí),如圖6,

同②的方法,得,SPEF=﹣ t2+18t﹣54=﹣ (t﹣ 2+

此時(shí),當(dāng)t=6時(shí),SPEF最大=6,

④當(dāng)6<t<6.75時(shí),如圖7,

在Rt△ABC中,sin∠B= = = ,

在Rt△BEQ中,sin∠B= = = ,

∴QE= (36﹣4t),在Rt△BEF中,sin∠B= = = ,

∴BF= (9﹣t),

∴PF=BF﹣BP= (9﹣t)﹣5(t﹣6)=45﹣ t

SPEF= PFQE= t2﹣42t+162,

此時(shí)不存在最大值;

⑤當(dāng)6.75<t<9時(shí),如圖8,

同④的方法,得,SPEF=﹣ t2+42t﹣162,

由于對(duì)稱軸t= >9,

∴此時(shí)取不到最大值,

∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,S的最大值為12.


【解析】解:(1)由運(yùn)動(dòng)知,CE= t,AP=3t,
∵AC=9,
∴PC=9﹣3t,
∵△PCE是等腰直角三角形,
∴PC=EC,
∴9﹣3t= t.
∴t= ,
故答案為: ;
(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可;(2)先求出CP= CE,進(jìn)而得出CP=9﹣3t,最后建立方程求解即可;(3)分三種情況,利用直角三角形中,利用銳角三角函數(shù)建立方程求解即可;(4)分5中情況利用三角形的面積公式求出各段面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,最后比較即可得出結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】解方程:
(1)x2+3x﹣2=0;
(2)(x﹣3)(x+1)=x﹣3.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,是直線上的一點(diǎn),是任意一條射線,平分平分.

(1)圖中的補(bǔ)角為 ;

(2),求的度數(shù);

(3)存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3,CB=4,設(shè)P,Q分別為AB邊,CB邊上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)分別從A,C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求△CPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(2)t為何值時(shí),△CPQ為直角三角形.
(3)①探索:△CPQ是否可能為正三角形,說明理由.
②P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不變,試改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度,使△CPQ為正三角形,求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和此時(shí)的t值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】解方程﹣1的步驟如下:

(解析)第一步:﹣1(分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì))

第二步:2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)

第三步:2x﹣1=6x+24﹣3……(②)

第四步:2x﹣6x=24﹣3+1……(③)

第五步:﹣4x=22(④)

第六步:x=﹣……(⑤)

以上解方程第二步到第六步的計(jì)算依據(jù)有:去括號(hào)法則.等式性質(zhì)一.③等式性質(zhì)二.合并同類項(xiàng)法則.請(qǐng)選擇排序完全正確的一個(gè)選項(xiàng)( 。

A. ②①③④② B. ②①③④③ C. ③①②④③ D. ③①④②③

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合題
(1)【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,E為AD上一點(diǎn),且DE=BD,可知AB=CE.

(2)【類比探究】如圖②,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,E是OC上任意一點(diǎn),AG⊥BE于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F.判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

(3)【推廣應(yīng)用】在圖②中,若AB=4,BF= ,則△AGE的面積為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】新學(xué)期開學(xué),某體育用品商店開展促銷活動(dòng),有兩種優(yōu)惠方案.

方案一:不購買會(huì)員卡時(shí),乒乓球享受8.5折優(yōu)惠,乒乓球拍購買5副(含5副)以上才能享受8.5折優(yōu)惠,5副以下必須按標(biāo)價(jià)購買.

方案二:辦理會(huì)員卡時(shí),全部商品享受八折優(yōu)惠,小健和小康的談話內(nèi)容如下:

會(huì)員卡只限本人使用.

1)求該商店銷售的乒乓球拍每副的標(biāo)價(jià).

2)如果乒乓球每盒10元,小健需購買乒乓球拍6副,乒乓球a盒,請(qǐng)回答下列問題:

①如果方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多,求a的值;

②直接寫出一個(gè)恰當(dāng)?shù)?/span>a值,使方案一比方案二優(yōu)惠;

③直接寫出一個(gè)恰當(dāng)?shù)?/span>a值,使方案二比方案一優(yōu)惠.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小組同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間與人數(shù)情況如下表所示:

下列關(guān)于“勞動(dòng)時(shí)間”這組數(shù)據(jù)敘述正確的是( )

A. 中位數(shù)是2 B. 眾數(shù)是2 C. 平均數(shù)是3 D. 方差是0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1.線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上。

(1)在圖中畫一個(gè)以AB為腰的等腰三角形ABC,點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上,且tanB=3;

(2)在圖中畫一個(gè)以AB為底的等腰三角形ABD,點(diǎn)D在小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上,ABD是銳角三角形.連接CD,請(qǐng)直接寫出線段CD的長。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案