Question

如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．

思考：

如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)∠MOP=α。

當(dāng)α=　   　度時，點P到CD的距離最小，最小值為　   　。

探究一：

在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=　   　度，此時點N到CD的距離是　   　。

探究二：

將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖3，當(dāng)α=60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；

（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的最大值。

 

Answer 1

【答案】

思考：90，2；探究一：∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2探究二：（1）90°（2）120°

【解析】∵MN=8，

∴OP=4，

∴點P到CD的距離最小值為：6﹣4=2．

故答案為：90，2；                                   ………………………………2分

探究一：

∵以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止。

∵MN=8，MO=4，ON=4，

∴點N到CD的距離是6﹣4=2

∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；……………………………6分

探究二

（1）由已知得出M與P的距離為4，

∴PM⊥AB時，點P到AB的最大距離是4，從而點P到CD的最小距離為6﹣4=2，

當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切，

此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°；             ……………………………… 9分

（2）如圖，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切線時，α大到最大，即OP⊥CD，此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。     

        ……………………………12分

根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質(zhì)定理，直接得出答案；

探究一：根據(jù)由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；

探究二：（1）由已知得出M與P的距離為4，PM⊥AB時，點MP到AB的最大距離是4，從而點P到CD的最小距離為6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值；

（2）分別求出α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范圍．