Question

在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1=∠2=45°．
（1）如圖1，若AO=OB，請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO=OB．求證：AC=BD，AC⊥BD；
（3）將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖3，求

BD

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，通過(guò)證明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，從而∠DEB=∠2，則BE=BD，等量代換得出AC=BD．延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知得出AC⊥BD；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，通過(guò)證明△BOE∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

BD

AC

的值．

解答：（1）解：AO=BD，AO⊥BD；


（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，
則∠ACO=∠BEO．
又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE．
∴AC=BE．
又∵∠1=45°，
∴∠ACO=∠BEO=135°．
∴∠DEB=45°．
∵∠2=45°，
∴BE=BD，∠EBD=90°．
∴AC=BD．
延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，如圖．
∵BE∥AC，
∴∠AFD=90°．
∴AC⊥BD．

（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，
則∠BEO=∠ACO．
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC．
∴

BE

AC

=

BO

AO

．
又∵OB=kAO，
由（2）的方法易得BE=BD．
∴

BD

AC

=k
答：

BD

AC

的值為k．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．
另外還可以過(guò)A作AA’垂直AC于A這樣好像簡(jiǎn)單些！