Question

如圖，矩形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=y，把它折疊起來，使頂點A與C重合，則折痕PQ的長度為（　�。�

• A、

  y

  x

  x2+y2

• B、

  x

  y

  x2+y2

• C、

  y

  x

  2x2+y2

• D、

  x

  y

  x2+2y2

Answer 1

分析：由翻折可得到QP垂直平分AC，那么AQ=QC，易證△APO≌△CQO，再利用勾股定理求出AP的長，進(jìn)而利用菱形的面積等于對角線乘積的一半，求出PQ的長即可．

解答：解：∵A，C兩點關(guān)于PQ對稱，所以AO=CO，
∵AC⊥QP，從而∠AOP=∠QOC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠APQ=∠PQC．
∴△APO≌△CQO，
∴CQ=AP，
由PQ⊥AC且平分AC，可知AQ=CQ．
∴四邊形AQCP是菱形，
設(shè)AP=a，則AQ=a，DQ=x-a，
在Rt△ADQ中，利用勾股定理可知：a²=y²+（x-a）²，
∴整理得：2ax=x²+y²，
解得a=

x2+y2

2x

，
菱形AQCP的面積為：

1

2

PQ•AC=CQ•AD，
∴

1

2

PQ×

x2+y2

=

x2+y2

2x

×y，
整理得：PQ×

x2+y2

=

x2+y2

x

×y，
解得：PQ=

y

x

x2+y2

．
故選：A．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識，遇到折疊變換問題注意找出翻折的邊得出對應(yīng)相等，再利用勾股定理求出，這是此類問題常用解題思路．