Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑分別為3

3

和

3

的⊙O₁和⊙O₂外切于原點(diǎn)O，在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O₁和⊙O₂分別切于點(diǎn)A、B，直線AB交y軸于點(diǎn)C．O₂D⊥O₁A于點(diǎn)D．
（1）求∠O₁O₂D的度數(shù)；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）求經(jīng)過(guò)O₁、C、O₂三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PO₁O₂為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）連接O₂B，

易證四邊形ADO₂B為矩形
在Rt△O₂DO₁中，
O₁D=2

3

，O₁O₂=4

3

則∠O₁O₂D=30°，O₂D=6；

（2）由（1）得AB=O₂D=6
又∵AB、OC是⊙O₁、⊙O₂的切線
∴OC=AC=BC=3
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

（3）由圖知：O₁、O₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3

3

，0）、（

3

，0）
設(shè)過(guò)點(diǎn)O₁、O₂、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為
y=ax²+bx+c
則有：

27a-3 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=0 3=c

解之得：a=-

1

3

b=-

2

3

3

c=3
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+-

2

3

3

x+3

（4）存在
點(diǎn)C顯然滿足條件．
又根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)C關(guān)于x=-

3

的對(duì)稱點(diǎn)也滿足條件
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）、（-2

3

，3）．