【題目】如圖1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點D是BC的中點.作正方形DEFG,使點A、C分別在DG和DE上,連接AE,BG.
(1)試猜想線段BG和AE的數量關系是 ;
(2)將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α(0°<α≤360°),
①判斷(1)中的結論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結論;
②若BC=DE=4,當AE取最大值時,求AF的值.
【答案】(1)BG=AE;(2)①見解析;②AF=2.
【解析】
試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論;
(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論;
②由①可知BG=AE,當BG取得最大值時,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出結論.
解:(1)BG=AE.
理由:如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點D是BC的中點,
∴AD⊥BC,BD=CD,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵四邊形DEFG是正方形,
∴DE=DG.
在△BDG和△ADE中,
,
∴△ADE≌△BDG(SAS),
∴BG=AE.
故答案為:BG=AE;
(2)①成立BG=AE.
理由:如圖2,連接AD,
∵在Rt△BAC中,D為斜邊BC中點,
∴AD=BD,AD⊥BC,
∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四邊形EFGD為正方形,
∴DE=DG,且∠GDE=90°,
∴∠ADG+∠ADE=90°,
∴∠BDG=∠ADE.
在△BDG和△ADE中,
,
∴△BDG≌△ADE(SAS),
∴BG=AE;
②∵BG=AE,
∴當BG取得最大值時,AE取得最大值.
如圖3,當旋轉角為270°時,BG=AE.
∵BC=DE=4,
∴BG=2+4=6.
∴AE=6.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得
AF==,
∴AF=2.
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【題目】拋物線y=x2-(2m-1)x-6m與x軸交于(x1,0)和(x2,0)兩點,已知x1x2=x1+x2+49,要使此拋物線經過原點,應將它向右平移__________個單位
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【題目】經過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)直行,也可能向左轉或向右轉,這三種可能性大小相同,現在兩輛汽車經過這個十字路口.
(1)請用“樹形圖”或“列表法”列舉出這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果;
(2)求這兩輛汽車都向左轉的概率.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=6,點E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF.下列結論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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【題目】在中, 為中點, 、與射線分別相交于點、(射線不經過點).
(1)如圖①,當BE∥CF時,連接ED并延長交CF于點H. 求證:四邊形BECH是平行四形;
(2)如圖②,當BE⊥AE于點E,CF⊥AE于點F時,分別取AB、AC的中點M、N,連接ME、MD、NF、ND. 求證:AM=AN
(3)如圖②,當BE⊥AE于點E,CF⊥AE于點F時,分別取AB、AC的中點M、N,連接ME、MD、NF、ND. 求證:∠EMD=∠FND.
圖① 圖②
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【題目】下列事件: ①蠟燭在沒有氧氣的瓶中燃燒: ②擲一枚普通的骰子,朝上一面的點數不超過6: ③擲兩枚質地均勻的正方體骰子,朝上一面的點數之和大于6④兩個非零實數的積為正數.屬于確定事件的個數是( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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