Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+7與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、B，與直線y=x相交于點(diǎn)A.

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如果在y軸上存在一點(diǎn)P，使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)是　 　；

（3）在直線y=﹣2x+7上是否存在點(diǎn)Q，使△OAQ的面積等于6？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；（2）（0，）；（3）存在；點(diǎn)Q是坐標(biāo)是（，）或（，﹣）.

【解析】

（1）聯(lián)立方程，解方程即可求得；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；

（3）分兩種情況：①當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，則QD=x，根據(jù)S△OBQ=S△OAB-S△OAQ列出關(guān)于x的方程解方程求得即可；②當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，則QD=-y，根據(jù)S△OCQ=S△OAQ-S△OAC列出關(guān)于y的方程解方程求得即可．

（1）解方程組：得：

∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），

∵△OAP是以OA為底邊的等腰三角形，

∴OP=PA，

∴22+（3﹣y）2=y2，

解得y=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），

故答案為（0，）；

（3）存在；

由直線y=﹣2x+7可知B（0，7），C（，0），

∵S△AOC=××3=＜6，S△AOB=×7×2=7＞6，

∴Q點(diǎn)有兩個(gè)位置：Q在線段AB上和AC的延長線上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，y），

當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖①，則QD=x，

∴S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ=7﹣6=1，

∴OBQD=1，即×7x=1，

∴x=，

把x=代入y=﹣2x+7，得y=，

∴Q的坐標(biāo)是（，），

當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖②則QD=﹣y，

∴S△OCQ=S△OAQ﹣S△OAC=6﹣=，

∴OCQD=，即××（﹣y）=，

∴y=﹣，

把y=﹣代入y=﹣2x+7，解得x=，

∴Q的坐標(biāo)是（，﹣），

綜上所述：點(diǎn)Q是坐標(biāo)是（，）或（，﹣）.